高考数学复习点拨 2.2教材解析

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1、2.2教材解析学习直接证明与间接证明这一块内容时，重点是理解综合法、分析法、和反证法的概念以及思考过程、特点和反证法的解题步骤。在学习中，体会数学证明的特点，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。一、目标要求1.综合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2.综合已学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程特点。二、内容解析1.综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方

2、法叫做综合法。用表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：P=>Q1→Q1=>Q2→Q2=>Q3→…→Qn=>Q2.分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种证明方法叫做分析法。用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q<=P1→P1<=P2→P2<=P3→…→得到一个明显成立的条件3.综合法和分析法的区别与联系分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件。

3、综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件。分析法与综合法各有特点。有些具体的待证命题，用分析法或综合法都可以证明出来，这时，往往选择比较简单的一种。在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论Q；根据条件的结构特点去转化条件，得到中间结论P。若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立。4.反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法。反证法的证明过程可以概括为“否定—推理—否定”，即从否

4、定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”（即肯定原命题）的过程。5.应用反证法证明数学命题的一般步骤（1）分清命题的条件和结论；（2）做出与命题结论相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真。三、例题解析例1如图，设在四面体在，，是的中点，求证：。证明：连接。因为是斜边上的中线，所以。又因为，而是的公共边。所以≌≌于是，而，因此，。所以，由此可知。例2求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形面积大。证明；设圆和

5、正方形的周长为，依题意，圆的面积为，正方形的面积为。因此本题只需证明>为了证明上式成立，只需证明两边同乘以正数，得。因此，只需证明。因为上式是成立的，所以>。这就证明了一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积大。例3证明：不能是同一等差数列的三项。证明：假设是某一等差数列的三项。设这一等差数列的公差为，则。其中为某两个正整数，由上面两式消去，得。因为为有理数，而为有理数。所以。因此假设不成立，即不能是同一等差数列的三项。