高考数学复习点拨 3.1教材解读

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1、高中数学①3.1教材解读　　一、方程的根与函数的零点　　１.函数的零点　　（１）函数的零点的定义：对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.　　（２）方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标.所以，方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.　　注：①由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的实数根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标.这样，就将方程、函数及函数的图象三者有机地结合了起来，体现了“化归”和“数形结合”的数学思

2、想.一般地，对于那些不能用公式法求根的方程来说，可以将方程与函数联系起来，并利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.　　②为解决方程的有关解的个数或求参数的取值范围等问题，我们将方程的根与函数零点的关系进一步拓广为：方程有实数根函数与的图象有交点.由此知，求方程的实数根就是确定函数与的图象交点的横坐标，而方程的实数根的个数可根据两函数图象的交点个数来判断.　　２.一次函数和二次函数的零点　　（１）对于一次函数，不论还是，方程都有惟一的实数根，相应地一次函数的图象与轴的交点的横坐标为，所以一次函数有且只有一个零点.　

3、　（２）对于二次函数，其零点个数可根据一元二次方程根的判别式来确定，具体情形如下表：方程根的判别式方程根的个数两个不相等的实数根两个相等的实数根无实数根函数的零点2个零点1个二重零点无零点函数的图象函数与轴的交点个数2个1个无　　３.函数零点的存在性　　对函数零点的存在性应从下列几方面进一步理解：　　（１）函数的图象是连续的，当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号；　　（２）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；　　（３）在函数的某一单调区间内，至多有一个零点；　　（４）如果函数在一个区间上的图象不间断，并且它的

4、两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间，至少有一个零点.　　二、用二分法求方程的近似解　　1.二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性.　　2.在用二分法求函数零点近似值，即求方程近似解的步骤中，为什么由，便可判断零点的近似值为（或）呢？下面予以说明.　　设函数的零点为，则，作出数轴，在数轴上标上的对应点：　　所以，.　　由于，所以，，即或作为函数的零点的近似值都能达到给定的精确度.　　3.二分法中运用了“逐步逼近”的数学思想，它是通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，

5、使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值（即方程近似解）的.“逐步逼近”思想在许多数学知识中都有很好地运用，希望同学们在学习中要多加领会.　　4.用二分法求方程的近似解时，由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，常通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.　　5.二分法求函数零点的不足：二分法的思路虽然简单，但是一方面若函数在上有几个零点时，只能算出一个零点；另一方面，即使函数在上有零点，也未必有，即用二分法不能求函数的不变号零点（若曲线通过零点时不变号，则这样的零点叫不变号零点，反之叫变号零点

6、），这就限制了二分法的使用范围.　　三、典例剖析　　例　用二分法求函数的一个正零点（精确到0.1）.解析：由于要求的是函数的一个正零点，因此可以考虑首先确定一个包含正零点的恰当区间，如，，，故可取区间为计算的初始区间（当然也可以），用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值由上表计算可知，区间的长度，所以可以将的近似值作为函数零点的近似值．评注：在用二分法求函数零点时，若函数能因式分解，可先将其因式分解，进而求得零点，再依据零点确定一个包含零点的恰当区间．如本题可将变形为，则函数零点为，，，再根据选取一个恰当区间

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