高考数学复习点拨 抛物线的光学性质例析

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1、抛物线的光学性质例析抛物线具有这样的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线．一光源在点处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点，反射后又射向抛物线上的点，再反射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线上的点，再反射后又射回点（如图所示）．（1）设两点坐标分别为，证明；（2）求抛物线的方程；（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点关于所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：由抛物线的光学性质及题意知光线必过抛物线的焦点，当直线斜率存在时，设直线的

2、方程为，　　　　①由①式，得，将其代入抛物线方程中，整理，得，由根与系数关系得．当直线的倾斜角为时，将代入抛物线方程，得，同样得到．（2）解：因为光线经直线反射后又射向点，所以直线与直线关于直线对称，设点关于的对称点为，则解得直线的方程为，点的纵坐标，由题设知点的纵坐标，且由（1）知：，则，得，故所求抛物线方程为．（3）解：将，得．故点坐标为，将代入直线４的方程为，得，故点坐标为．由两点坐标得直线的方程为，设点关于直线的对称点为，解得又的坐标是抛物线方程的解，故抛物线上存在一点与点关于直线对称．