高考数学复习点拨 表面积与体积常见易错点剖析

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1、表面积与体积常见易错点剖析初学空间几何体的表面积和体积问题的同学，在利用表面积和体积公式计算有关的问题时，常会由于基础知识掌握不牢，产生以下几种错误．1、公式记忆错误致误例1底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是9和15，高是5，求这个棱柱的侧面积.错解：设底面菱形的边长为，则，菱形的边长，.剖析：直棱柱的侧面积为底面周长乘于高.错解中把底面菱形当成了正方形.正解：设底面两条对角线的长分别为，则，，菱形的边长，.2、多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误例2在球内有相距的两个平行截面，截面面积分别是，求球的面积和体积.错解：画出轴截面，如图1.圆是球的大圆

2、，分别是两条平行于截面圆的直径，过作，.O图1由于，所以.由圆的性质可得，分别是的中点.设两平行平面的半径分别为，由题意得：，.又都是球的半径，，，，解得：..剖析：在球内有相距的两个平行截面，截面面积分别是，两个平行截面相对球心有两种位置关系，错解中只考虑了一种,即两个平行截面位于球心的同侧,而忽略了两个平行截面位于球心两侧的情况.正解：（1）当两个平行截面位于球心的同侧时：画出轴截面，如图3.圆是球的大圆，分别是两条平行于截面圆的直径，过作，.由于，所以.由圆的性质可得，分别是的中点.O图2设两平行平面的半径分别为，由题意得：，.又都是球的半径，，，，解得：

3、..（2）当两个平行截面位于球心的两侧时：O图3画出轴截面，如图4.圆是球的大圆，分别是两条平行于截面圆的直径，过作，.由于，所以.由圆的性质可得，分别是的中点.设两平行平面的半径分别为，由题意得：，.又都是球的半径，，，，，，无解.即此种情况不成立.综上所述,球的面积为,体积为.3、简单的组合体画不出适当的截面图致误例3已知球的内接正方体的体积为，求球的表面积.错解：如图，作圆的内接正方形表示正方体的截面.设正方体的棱长为，球的半径为，则有：，解得：，.即球的表面积为.剖析：过球内接正方形的一个对角面作球的大圆截面，得到的是一个宽为正方体棱长，长为，对角线长为

4、的矩形（如图），故错解所作的大圆截面是错误的.因此，将错解中的方程（2）改为即可.正解：如图，作圆的内接正方形表示正方体的截面.设正方体的棱长为，球的半径为，则有：，解得：，.即球的表面积为.