高考数学复习点拨 直线.平面问题易错点分析

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1、直线、平面问题易错点分析直线、平面是立体几何的重要内容，学生在学习这部分知识时，经常因为概念不清、主观臆断、空间想象能力差而错解题目。下面就学生在解题中出现的错误分类辨析如下，供大家参考一、概念不清例1如图1-1，二面角为锐角，E、F为两个面上的两点，，若E、F到棱AB的距离EC=FD。求证：EF与平面所成的角也相等。αDEB错解如图1-1，在平面内，分别FCA过E、F作EC⊥AB、FD⊥AB，垂足β为C、D。连结ED、FD。∵EC=DF，图1-1CD=CD，∴Rt△ECD≌Rt△FDC。∴ED=FC，又EF=EF，∴△ECF≌△FDE。∴∠EFC=∠FED。即EF

2、与平面所成的角相等。辨析由题意，EC只垂直AB，而不垂直于平面，根据直线与平面所成角的定义知，∠EFC不是EF与平面所成的角，而∠FED也不是EF与平面所成的角。因此，以上证明是错误的，造成错误的原因是对于直线与平面所成的角的概念不清。α正解如图1-2，作EG⊥，G、H为HE垂足。连结GF、EH，则∠EFG、∠FEH分DCBA别是EF与、所成的角。连结CG、DH。FG∵AB⊥EC，由三垂线定理的逆定理，得图1-2βAB⊥CG。∴∠ECG是二面角ABCDFE图2的平面角。同理，∠FDH也是二面角的平面角。∴∠ECG=∠HDF。则Rt△EGF≌Rt△FHE。则∠EFG=

3、∠FEH。故EF与平面所成的角也相等。二、主观臆断例2矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和D的距离。错解如图2，在直二面角的面ADC内，自D作DE⊥AC于E，连BE、BD，则BD为所求的距离。∵DE⊥AC，∴DE、BE同为两个全等直角三角形斜边AC上的高，∴DE=BE=︰AC=（4×3）︰5=。∵平面ADC平面ABC，∴∠DEB=90。∴BD==DE=。辨析错解中认为BE是Rt△ABC斜边上的高，而BE并不垂直AC。造成错误的原因是主观臆断，以猜测代替证明。正解作BF=DE=，EC=DC︰AC=，EF=AC--2EC=5-=。在R

4、t△BFE中，BE==，在Rt△BED中，BD=。三、随意使用“同理可证”ABCFMDNEαβ图3例3如图3，已知平面平面，线段分别交、于、，线段分别交、于、，线段分别交、于、，若，，，求△和△的面积之比。错解∵，∴平面分别交、于、。∴。同理，。由等角定理，得，。∴△∽△。∴。∴。辨析在证明过程中，如果两次证明的依据相同，可以使用“同理可证”。上述证明中，平面于、交于、，得，平面于、交于、，得，可用“同理可证”，但就不能用“同理可证”，因为、可能共面，也可能异面，故不一定成立，则两个三角形不一定相似。正解∵，平面分别交、于、。∴。同理。由等角定理，得。∴，。∴。∴。

5、∴＝＝。∴。即△和△的面积之比为。。四、作图有误AEFDBCPQ图4－2例4如图4—1，设二面角P-EF-Q，从点A分别作AB⊥平面P，作AC⊥平面Q，若，，.求二面角的度数。错解过三点的平面和平面分别交于、。∵EF⊥AC，EF⊥AB。∴EF⊥平面ABDC。∴BD⊥EF，CD⊥EF，故∠BDC为所求二面角的平面角。由∠BAC=60°，故∠BDC=1即二面角的平面角P-EF-Q的度数为1AEFDBCPQ图4－1辨析满足条件：AB=3，AC=1，∠A=60°，∠BDC=1四边形ABDC是不存在的。也就是说点A不可能在二面角内不，而是在二面角外，由于作图有误，导致计算错误

6、，正解如图4－2，过点A、B、C的平面与EF垂直，故∠BDC为二面角。AD为A到EF的距离，∵Rt△ADB、Rt△ACD在同一平面内，且AD为公共边，∴A、C、B、D四点公圆。∴∠BDC=∠BAC=60，故所求二面角P-EF-Q两度数是60。五、考虑不周例5在直二面角的棱上任取一点，从这点在两个面内作一条射线和棱成45角，求这两条射线间的尖角。错解如图5-1，直二面角d--，AE，且∠BAD=∠CAD=45BADCaαβ图5－1取AB=AC过B作BC⊥交AC于C,连结BD∵Rt△BDA≌Rt△CDA.≌Rt△BDC,∴AB=AC=BC.则△BAC为正三角形。∴∠BA

7、C=60°。辨析解题时，因考虑不周，只考虑了AC、AB同向的情况，而漏掉了反向的情况。BDADCaαβ图5－2ED正解（1）如图5-1，当AB、AC同向时，∠BAC=60°。（2）如图5-2，当AB、AC反向时，取AB=AC=m，作BD⊥a于D，CE⊥a于E。这里∠BAD=∠CAE=45°，在△BDA中，BD=AD=m。在△DAC中，DC=。在Rt△BDC中BC=，在△ABC中∠BAC=。∴∠BAC=1BABAB1B1A1A1EFEFOaβαβ图6－1图6－2故所求两射线间的夹角为60°或1六、特殊代替一般例6已知平面∥平面，线段AA′、BB′夹在两平行面之间，