高考数学复习点拨 第三章导数及其应用教材解读

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1、第三章教材解读重点热点：求函数的最值问题（这既是高中教材的重点，也是高考的热点）。思想方法：1．由有限到无限、逐步逼近的思想。2．数形结合思想，利用导数的几何意义研究曲线的变化规律。3．函数方程和转化的方法意识，能将实际问题转化为数学问题，从而解决问题。教材解读：1．定义法解题例1已知函数f(x)在x＝x0处可导，则＝。分析：对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和△x→0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形。解：∵＝f＇(x0)。∴＝＝·＝2f(x0)·f＇(x0)。2．最

2、优解问题例2用半径为R的圆形铁皮，剪一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形的漏斗（如图所示）。问圆心角α取什么值时，漏斗容积最大？分析：解实际问题时，要注意两个量之间的转化。就本题来说，截得的圆铁皮的弧长是圆锥的底面的圆周长，这是列出相关函数关系式的关键。解：设圆锥形漏斗的底面半径为r，高为h，容积为V，那么：r2＋h2＝R2。容积V＝πr2h＝π(R2－h2)h＝πR2h－πh3，其中0＜h＜R。所以V＇＝πR2－πh2。令V＇＝0，得h＝R。当0＜h＜R时，V＇＞0；当R＜h＜R时，V＇＜0。∴当h＝R时，

3、V取得极大值，并且这个极大值也是最大值，此时r＝＝R。由弧长公式Rα＝2πr，得α＝π。此时漏斗容积最大。3．应用导数解决相关数学问题例3求证：lnx＋－(x－1)2≥1－(1－x)3。分析：可利用构造函数求极值的方法予以证明，同时要注意x＞0这一隐含条件。解：设f(x)＝lnx＋－(x－1)2－[1－(1－x)3]，则f＇(x)＝－－(x－1)＋2(x－1)2＝＋(x－1)[2(x－1)－1]＝[1＋x2(2x－3)]＝[2x3－3x2＋1]＝[(2x3－2x2)－(x2－1)]＝(2x2－x－1)＝(2x

4、＋1)(x－1)＝(2x＋1)。令f＇(x)＝0，得x＝1或x＝－（函数定义域x＞0，故应舍去）。在x＝1附近，f＇(x)的符号先负后正。∴当x＝1时，f(x)取得极小值，同时它也是最小值。此最小值为f(1)＝0。∴当x＞0时，f(x)≥0，即lnx＋－(x－1)2≥1－(1－x)3。4．探索性问题例4已知函数f(x)＝x2＋c，且f[f(x)]＝f(x2＋1)。⑴设函数g(x)＝f[f(x)]，求g(x)的解析式；⑵设函数Φ(x)＝g(x)－λf(x)，试问：是否存在实数λ，使Φ(x)在(－∞，－1)内为减

5、函数，且在(－1，0)内为增函数。分析：若f(x)在区间D上是增函数（或减函数），则f＇(x)≥0（或≤0）在区间D上恒成立（其中使f＇(x)＝0的点是不连续的）。解：⑴由f[f(x)]＝f(x2＋1)得(x2＋c)2＋c＝(x2＋1)2＋c，整理得2cx2＋c2＝2x2＋1，即c＝1。∴g(x)＝f[f(x)]＝f(x2＋1)＝(x2＋1)2＋1＝x4＋2x2＋2。⑵Φ(x)＝g(x)－λf(x)＝x4＋(2－λ)x2＋2(2－λ)，∴Φ＇(x)＝4x3＋2(2－λ)x。若Φ(x)在(－∞，－1)内为减函数

6、，则4x3＋2(2－λ)x＜0对于x∈(－∞，－1)恒成立。故2－λ＞－2x2，对于x∈(－∞，－1)恒成立。因为当x∈(－∞，－1)时，－2x2＜－2。所以2－λ≥－2，即λ≤4。若Φ(x)在(－1，0)内为增函数，则4x3＋2(2－λ)x＞0对于x∈(－1，0)恒成立。故2－λ＜－2x2，对于x∈(－1，0)恒成立。因为当x∈(－1，0)时，－2＜－2x2＜0。所以2－λ≤－2，即λ≥4。综合上述知，当λ＝4时，Φ(x)在(－∞，－1)内为减函数，且在(－1，0)内为增函数。5．解决与其他学科相关的优化问

7、题例5对某个量进行n次测量，得到n个测量结果x1，x2，…，xn。如果用x作为这个量的近似值，当x取什么值时，(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2最小？分析：首先要明确表达式中的x1，x2，…，xn都是常量，只有x是变量，就是说这是关于x的二次函数，利用导数就可以求出这个极值。解：设f(x)＝(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2＝nx2－2(x1＋x2＋…＋xn)x＋(x12＋x22＋…＋xn2)故f＇(x)＝2nx－2(x1＋x2＋…＋xn)。令f＇(x)＝0，得x＝。因为f(x

8、)为二次函数，只有一个极值，且此极值也是最值。所以，当x＝时，(x－x1)2＋(x－x2)2＋…＋(x－xn)2最小。