高三一轮复习课时作业（20）：等差等比数列综合题

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1、课时作业(二十)一、选择题1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)A.　　　　　　　　B.＋C.＋D.＋＋答案　D2．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为(　　)A．a＝，b＝c＝　　　　　B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c答案　A解析　∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即整理得解得a＝，b＝c＝.3．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为(　　)A.B.

2、C.D.答案　C解析　由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，得S2＝2(2×2－1)an，即a1＋a2＝6a2，∴a2＝＝，S3＝3(2×3－1)a3，即＋＋a3＝15a3.∴a3＝＝，a4＝.故选C.二、填空题4．n为正奇数时，求证：xn＋yn被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝________，命题为真．答案　2k＋1三、解答题5．用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2n>n2成立．解析　①当n＝5时，25>52，结论成立；②假设当n＝k(k∈N*，k≥5)时，结论成立，即2k>k2.那么当n＝k＋1时，左边＝2k＋1＝2·2k>2·k2

3、＝(k＋1)2＋(k2－2k－1)＝(k＋1)2＋(k－1－)(k－1＋)>(k＋1)2＝右边．也就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．∴由①②可知，不等式2n>n2对满足n∈N*，n≥5时的n恒成立．6．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn.(1)求S1，S2，S3；(2)猜想Sn的表达式并证明．解析　(1)由(S1－1)2＝S得：S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝.(2)猜想：Sn＝.证明：①当n＝1时，显然成立；②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝成立．则

4、当n＝k＋1时，由(Sk＋1－1)2＝ak＋1Sk＋1得：Sk＋1＝＝＝，从而n＝k＋1时，猜想也成立．综合①②得结论成立．7．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：＋＋…＋<.解析　(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝4＝25.猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.用数学归纳法证明：①当n＝1时

5、，由上可得结论成立．②假设当n＝k时，结论成立，即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．(2)＝<.n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)·n.故＋＋…＋<＋(＋＋…＋)＝＋(－＋－＋…＋－)＝＋(－)<＋＝.8．已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0＝1，an＋1＝an·(4－an)，(n∈N)．证明：an

6、2，(n∈N)．证明　解法一　用数学归纳法证明：(1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝，所以a00，所以ak－ak＋1<0.又ak＋1＝ak(4－ak)＝[4－(ak－2)2]<2.所以n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N时有an

7、学归纳法证明：(1)当n＝0时，a0＝1，a1＝a0(4－a0)＝，所以0