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1、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题题组一二元一次不等式(组)表示的平面区域1.(·福建高考)在平面直角坐标系中,若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( )A.-5B.1C.2D.3解析:不等式组所围成的区域如图所示.则A(1,0),B(0,1),C(1,1+a)且a>-1,∵S△ABC=2,∴(1+a)×1=2,解得a=3.答案:D2.已知D是由不等式组所确定的平面区域,则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为( )A.B.C.D.解析:如图,l1、l2的斜率分别是k1=,k2=-,不等式组表示的平面区域为阴影部分.∵tan∠AOB==1,∴∠AOB
2、=,∴弧长=·2=.答案:B3.点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是________.解析:点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,说明将这两点坐标代入3x-2y+a后,符号相反,所以(9-2+a)(-12-12+a)<0,解之得-7<a<24.答案:(-7,24)题组二求目标函数的最值4.(·天津高考)设变量x、y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为( )A.6B.7C.8D.23解析:约束条件表示的平面区域如图易知过C(2,1)时,目标函数z=2x+3y取得最小值.∴zmin=2×2+3×1=7.答案:B5.(
3、·陕西高考)若x,y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,则a的取值范围是( )A.(-1,2)B.(-4,2)C.(-4,0]D.(-2,4)解析:可行域为△ABC,如图当a=0时,显然成立.当a>0时,直线ax+2y-z=0的斜率k=->kAC=-1,a<2.当a<0时,k=-<kAB=2,∴a>-4.综合得-4<a<2.答案:B6.已知关于x、y的二元一次不等式组(1)求函数u=3x-y的最大值和最小值;(2)求函数z=x+2y+2的最大值和最小值.解:(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域,如图所示.由u=3x-y,得y=3x-u,得到斜率为3
4、,在y轴上的截距为-u,随u变化的一组平行线,由图可知,当直线经过可行域上的C点时,截距-u最大,即u最小,解方程组得C(-2,3),∴umin=3×(-2)-3=-9.当直线经过可行域上的B点时,截距-u最小,即u最大,解方程组得B(2,1),∴umax=3×2-1=5.∴u=3x-y的最大值是5,最小值是-9.(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域,如图所示.由z=x+2y+2,得y=-x+z-1,得到斜率为-,在y轴上的截距为z-1,随z变化的一组平行线,由图可知,当直线经过可行域上的A点时,截距z-1最小,即z最小,解方程组得A(-2,-3),∴zmin=-2+2×(-3
5、)+2=-6.当直线与直线x+2y=4重合时,截距z-1最大,即z最大,∴zmax=4+2=6.∴z=x+2y+2的最大值是6,最小值是-6.题组三线性规划的实际应用7.(·湖北高考)在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为( )A.2000元B.2C.2400元D.2800元解析:设需使用甲型货车x辆,乙型货车y辆,运输费用z元,根据题意,得线性约束条件求线性目标函数z=400x+30
6、0y的最小值.解得当时,zmin=2答案:B8.(·四川高考)某企业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是( )A.12万元B.C.25万元D.27万元解析:设该企业生产甲产品为x吨,乙产品为y吨,则该企业可获得利润为z=5x+3y,且联立解得由图可知,最优解为P(3,4),∴z的最大值为z=5×3+3×4=27(万元).答案:D9.某人上午7时乘摩托艇以匀速v
7、km/h(4≤v≤A港出发到距50km的B港去,然后乘汽车以匀速wkm/h(30≤w≤100)自B港向距300km的C市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C市.设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是xh、yh.若所需的经费p=100+3(5-y)+2(8-x)元,那么v、w分别为多少时,所需经费最少?并求出这时所花的经费.解:依题意,考查z=2x+3y的最大值,作出可行域,平移直线2x+3y=0,当直线经过点(4,10)时,z取得最大值38.故当v=12.5、w=30时