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时间:2018-05-03
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1、函数与方程题组一函数零点的判定1.若函数f(x)在区间上的图象是连续不断的曲线,且函数f(x)在(-2,2)内有一个零点,则f(-2)·f(2)的值( )A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定解析:若函数f(x)在(-2,2)内有一个零点,则该零点是变号零点,则f(-2)f(2)<0.若不是变号零点,则f(-2)f(2)>0.答案:D2.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数f(x)有零点的区间是( )A.B.C.D.解析:∵f(-1)=3-1-(-1)2=-1=-<0,f(0)=
2、30-0=1>0,∴函数f(x)=3x-x2在区间内存在零点.答案:D3.(·苏北三市联考)若方程lnx+2x-10=0的解为x0,则不小于x0的小整数是 .解析:令f(x)=lnx+2x-10,则f(5)=ln5>0,f(4)=ln4-2<0∴4<x0<5∴不小于x0的最小整数是5.答案:5题组二函数零点的求法4.(·福建高考)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( )A.f(x)=4x-1B.f(x)=(x-1)2C.f(x)
3、=ex-1D.f(x)=ln(x-)解析:∵4个选项中的零点是确定的.A:x=;B:x=1;C:x=0;D:x=.又∵g(0)=40+2×0-2=-1<0,g()=+2×-2=1>0,∴g(x)=4x+2x-2的零点介于(0,)之间.从而选A.答案:A5.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.2解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且周期是3,f(2)=0,∴f(2)=f(5)=f(-2)=f(
4、1)=f(4)=0.答案:B6.设函数f(x)=则函数F(x)=f(x)-的零点是 .解析:当x≥1时,f(x)-=2x-2-=2x-=0,∴x=.当x<1时,x2-2x-=0,∵Δ=4+1>0,∴x==,又∵x<1,∴x=.∴函数F(x)=f(x)-有两个零点和.答案:,题组三函数零点的应用7.若二次函数y=ax2+bx+c中a·c<0,则函数的零点个数是( )A.1个B.2个C.0个D.不确定解析:∵c=f(0),∴ac=a·f(0)<0.∴a与f(0)异号,即∴函数必有两个零点.答案
5、:B8.已知函数f(x)=x
6、x-4
7、-5,则当方程f(x)=a有三个根时,实数a的取值范围是 .A.-5<a<-1B.-5≤a≤-1C.a<-5D.a>-1解析:f(x)=x
8、x-4
9、-5=在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略),可得当直线y=a与该函数的图象有三个交点时,a的取值范围是-510、数,由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点,0<a<1时两函数图象有唯一交点,故a>1.答案:(1,+∞)10.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.(1)求证:对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;(2)若<t<,求证:方程f(x)=0在区间(-1,0)及(0,)内各有一个实数根.解:(1)证明:由f(1)=1知f(x)=1必有实数根.(2)当<t<时,因为f(-1)=3-4t=4(-t)>0,f(0)=1-2t=2(-t)<0,f()=+(2t-1)+1-211、t=-t>0,所以方程f(x)=0在区间(-1,0)及(0,)内各有一个实数根.11.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间上有零点,求a的取值范围.解:若a=0,则f(x)=2x-3显然在上没有零点,所以a≠0.令Δ=4+8a(3+a)=8a2+24a+4=0,解得a=.①当a=时,y=f(x)恰有一个零点在上;而a=时,经检验不符合要求.②当f(-1)·f(1)=(a-1)(a-5)≤0时,得1≤a≤5,因当a=5时,方程f(x)=0在上有两个相异实根,12、故1≤a<5时,y=f(x)在上恰有一个零点;③当y=f(x)在上有两个零点时,则解得a≥5或a<.综上所述,实数a的取值范围是{a13、a≥1或a≤}.
10、数,由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点,0<a<1时两函数图象有唯一交点,故a>1.答案:(1,+∞)10.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.(1)求证:对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;(2)若<t<,求证:方程f(x)=0在区间(-1,0)及(0,)内各有一个实数根.解:(1)证明:由f(1)=1知f(x)=1必有实数根.(2)当<t<时,因为f(-1)=3-4t=4(-t)>0,f(0)=1-2t=2(-t)<0,f()=+(2t-1)+1-2
11、t=-t>0,所以方程f(x)=0在区间(-1,0)及(0,)内各有一个实数根.11.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间上有零点,求a的取值范围.解:若a=0,则f(x)=2x-3显然在上没有零点,所以a≠0.令Δ=4+8a(3+a)=8a2+24a+4=0,解得a=.①当a=时,y=f(x)恰有一个零点在上;而a=时,经检验不符合要求.②当f(-1)·f(1)=(a-1)(a-5)≤0时,得1≤a≤5,因当a=5时,方程f(x)=0在上有两个相异实根,
12、故1≤a<5时,y=f(x)在上恰有一个零点;③当y=f(x)在上有两个零点时,则解得a≥5或a<.综上所述,实数a的取值范围是{a
13、a≥1或a≤}.
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