高考一轮数学复习 98空间向量及其运算(b) 理 同步练习（名师解析）

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1、第9章第8节知能训练·提升考点一：空间向量的有关概念、定理及运算1．若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(　　)A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)c＝a(b·c)解析：∵(a·b)c与c共线，而a(b·c)与a共线，(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．答案：D2．在以下命题中，不正确的个数为(　　)①已知A、B、C、D是空间任意四点，则＋＋＋＝0②

2、a

3、－

4、b

5、＝

6、a＋b

7、是a、b共线的充要条件．③若a与b共线，则

8、a与b所在直线平行．④对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P、A、B、C四点共面．A．1个　　　　　　　B．2个C．3个D．4个解析：＋＋＋＝＋＝0，①正确．

9、a

10、－

11、b

12、＝

13、a＋b

14、成立的充要条件是a与b共线且方向相反且

15、a

16、＞

17、b

18、，因此②错，由向量平行知到直线平行或重合③不正确，由空间向量中点共面知④不正确．答案：C3．以下四个命题中正确的是(　　)A.＝＋，则P、A、B三点共线B．若〈a，b，c〉为空间的一个基底，则〈a＋b，b＋c，c＋a〉构成空间的另一基

19、底C．a·b·c＝

20、a

21、

22、b

23、

24、c

25、D．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0答案：B4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　)A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝1解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＋.答案：C考点二：证明平行、垂直及求角与距离5．(·临沂检测)如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．解析：因为·＝·(－)＝·－·＝

26、

27、·

28、

29、c

30、os〈，〉－

31、

32、·

33、

34、·cos〈，〉．因为OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，所以·＝0，即OA⊥BC，所以cos〈，〉＝0.答案：06．(·河南部分重点中学联考)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，有下列三个条件：①A1B⊥AC1；②A1B⊥B1C；③B1C1＝A1C1.试利用①、②、③构造出一个正确的命题________．解析：如图，设＝a，＝b，＝c，由A1B⊥AC1⇔·＝0⇔(b－a＋c)(－c－a)＝0，所以a·b＝

35、a

36、2－

37、c

38、2①由A1B⊥B1C⇔·＝0⇔(b－a＋c)(c－b)＝0，所以a

39、·b＝

40、b

41、2－

42、c

43、2②由B1C1＝A1C1得

44、a

45、2＝

46、b

47、2③由①②③不难看出①、②⇒③；①、③⇒②；②③⇒①.答案：①②⇒③(或①③⇒②；②③⇒①)7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，3AD＝DC＝3，AB＝2，E是DC上一点，满足DE＝1，连结AE，将△DAE沿AE折起到△D1AE的位置，使得∠D1AB＝60°，AC与BE的交点为O.(1)试用基向量、、表示向量；(2)求异面直线OD1与AE所成的角；(3)判断平面AD1E与平面ABCE是否垂直，并说明理由．解：(1)根据已知，可

48、得四边形ABCE为平行四边形，所以O为BE的中点，＝－＝－(＋)＝－－.(2)·＝(－－)·＝1×cos45°－×2××cos45°－×()2＝－1，∵2＝(－－)2＝，∴

49、

50、＝，∴cos〈，〉＝＝＝－，所以OD1与AE所成的角为arccos.(3)设AE的中点为M，则＝－.∵·＝·－·＝1×2cos60°－××2cos45°＝0，∴⊥.∵·＝·－2＝cos45°－×()2＝0，∴⊥.所以MD1垂直于平面ABCE内两条相交直线．∴MD1⊥平面ABCE，而D1M⊂平面AD1E；所以平面AD1E⊥平面ABCE.8．

51、三棱柱ABC－A1B1C1是各棱长为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；(2)求点C到平面AB1D的距离；(3)求平面AB1D与平面ABC所成二面角(锐角)的大小．解：如图．(1)取AB1的中点M，则＝＋＋.又＝＋＋，两式相加得2＝＋＝＋.由于2·＝(＋)·＝0，2·＝(＋)·(－)＝

52、

53、2－

54、

55、2＝0，∴DM⊥AA1，DM⊥AB，∴DM⊥平面ABB1A1，而DM⊂平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1.(2)一方面A1B⊥DM.另一方面·＝(－)·(＋)＝

56、

57、

58、2－

59、

60、2＝0，∴A1B⊥AB1，∴A1B⊥平面AB1D，∴是平面AB1D的法向量，所以C点到平面AB1D的距离为d＝

61、

62、＝＝＝＝a.(3)平面ABC的法向量是，而平面AB1D的法向量，故所求二面角θ的余弦值为cosθ＝＝＝＝，∴θ＝45°.1.(·福建)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1