高考一轮数学复习 96棱柱、棱锥的概念和性质理 同步练习（名师解析）

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1、第9章第6节知能训练·提升考点一：棱柱、棱锥的概念与性质1．设有四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．以上四个命题中，真命题的个数是(　　)A．1　　　　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体．命题②不是真命题，若底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体．命题③也不是真命题，因为有

2、两条侧棱垂直于底面一边，这时两个对的侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直．命题④是真命题，由对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推出侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体．答案：A2．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中真命题的编

3、号是________．(写出所有真命题的编号)解析：①正确．②如图，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形而△VAB和△VCA均为等腰三角形，故不能判定为正三棱锥；③侧面积相等只能证明斜高相等，并不能表示侧面为全等三角形，故不能判定为正三棱锥；④正确．答案：①④考点二：棱柱、棱锥的平行与垂直问题3．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．解析：如图，若设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱

4、为a，由于PM⊥BC，所以PM＝＝a，连结PG并延长与AD相交于N点，则PN＝a，又MN＝AB＝a，所以PM2＋PN2＝MN2，于是PM⊥PN，又PM⊥AD，所以⊥平面PAD，因此在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．答案：无数4．如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．(1)求证：AC⊥PB；(2)求证：PB∥平面AEC；(3)求二面角E－AC－B的大小．解：(1)证明：由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC，又AB

5、⊥AC，∴AC⊥平面PAB，∴AC⊥PB.(2)证明：如图所示，连结BD交AC于点O，连结EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB，∴PB∥平面AEC.(3)取AD的中点F，连结EF，FO，则EF是△PAD的中位线，∴EF∥PA，又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，同理FO是△ABD的中位线，∴FO∥AB，∴PO⊥AC.由三垂线定理可知，∠EOF是二面角E－AC－D的平面角．又FO＝AB＝PA＝EF，∴∠EOF＝45°，而二面角E－AC－B与二面角E－AC－D互补，故所求二面角E－AC－B

6、的大小为135°.考点三：棱柱、棱锥中角与距离的计算5．(·昆明)三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，SA＝4，AB＝3，D为AB的中点，∠ABC＝90°，则点D到面SBC的距离等于(　　)A.B.C.D.答案：C6．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，CB＝1，CA＝，AA1＝，M为侧棱CC1上一点，AM⊥BA1.(1)求证：AM⊥平面A1BC；(2)求二面角B－AM－C的大小；(3)求点C到平面ABM的距离．解：(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，易知面ACC1A

7、1⊥面ABC，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥面ACC1A1.∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AM.∵AM⊥BA1，且BC∩BA1＝B，∴AM⊥平面A1BC.(2)设AM与A1C的交点为O，连结BO，由(1)可知AM⊥OB，且AM⊥OC，∴∠BOC为二面有B－AM－C的平面角．在Rt△ACM和Rt△A1AC中，∠OAC＋∠ACO＝90°，∴∠AA1C＝∠MAC.∴Rt△ACM∽Rt△A1AC.∴AC2＝MC·AA1.∴MC＝.∴在Rt△ACM中，AM＝.∵AC·MC＝AM·CO，∴CO＝1.∴在Rt△BC

8、O中，tan∠BOC＝＝1.∴∠BOC＝45°，故所求二面角的大小为45°.(3)设点C到平面ABM的距离为h，易知BO＝，可知S△ABM＝·AM·BO＝××＝.∵VC－ABM＝VM－ABC，∴hS△ABM＝MC·S△ABC.∴h＝＝＝.∴点C到平面ABM的距离为.考点四：棱柱、棱锥的面积与体积计算7．在三棱锥P－ABC中，BC＝3，CA＝4，AB＝5，若三侧面与底面所成二面角A－BC－P为45°，B－AC－P为45°，C－AB－P为45°，则三棱锥P－