高考数学复习点拨 运用韦恩图解题“三层次”

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1、运用韦恩图解题“三层次”由于图形简明、直观，因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析，下面例析运用集合中“韦恩图”解题的三层次：识图——用图——构图．一、识图是指给出韦恩图形式，用集合的交、并及补等集合的运算表示．例1如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()(A)（M∩P）∩S(B)（M∩P）∪S(C)（M∩P）∩IS(D)（M∩P）∪IS解：阴影部分是M与P的公共部分(转化为集合语言就是M∩P)，且在S的外部(转化为集合语言就是IS)，故选(C)．例2用集合A、B及它们的交集、并集、补集的符号表示阴影部分的集合，正确的

2、表达式是（）(A)(A∪B)－(A∩B)(B)U(A∩B)(C)(A∩UB)∪(UA∩B)(D)U(A∪B)∩U(A∩B)解：阴影有两部分，左边部分在A内且B外(转化成集合语言就是A∩UB)，右边部分在B内且A外(转化成集合语言就是UA∩B)，故选(C)．二、用图例3设U是全集，非空集合P、Q满足PQU，若含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______（只要写出一个表达式）.解将集合语言用韦恩图表示，如图1，极易得到其多种答案：⑴UQ∩P；⑵P∩(UP∩Q)；⑶UQ∩(P∪Q)；等等.例4已知全集I＝N*，集合A

3、={x│x=2n，n∈N*}，B={x│x＝4n，n∈N*}，则()(A)(B)(C)(D)解：根据题意，易得BA，画出韦恩图(如图2)，显然I＝A∪IB，故选(C)．例5设全集U＝{x

4、0＜x≤10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩UB＝{1，5，7}，UA∩UB＝{9}，求A，B．分析：本题关系较为复杂，由推理的方法较难，而用韦恩图，则显得简捷．解：由U＝{1，2，3，…，9}，据题意，画韦恩图，如右图，易得A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．三、构图对于某些应用题，若能构造韦恩图求解，可使问题变得简单明了．例6某班50名学生中，

5、会讲英语的有36人，会讲日语的有既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？解：设全集U＝{某班50名学生}，A＝{会讲英语的学生}，B＝{会讲日语的学生}，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的学生}，则由韦恩图知，既不会英语又不会日语的学生有：50－22－14－6＝8(人)．例750名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确有40人，化学实验做得正确有31人，两种实验都做错的有4人，问这两种实验都做对的有多少人？解：设全集U＝{做理化实验的50名学生}，A＝{做对物理实验的学生}，B＝{做对化学实验的学生}，A∩B＝{两

6、种实验都做对的学生}，并设Card(A∩B)＝x，则由韦恩图(图略)，知40－x＋x＋31－x＋40＝50，解得x＝25．即两种实验都做对有25人．