高考数学复习点拨 构造相交圆解题

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1、构造相交圆解题已知两圆的方程为和，将它们相减得．（1）如果这两个圆相交，则方程（*）是两圆公共弦所在的直线方程；（2）如果这两个圆相切，则方程（*）是过两圆切点的切线方程；（3）如果这两个圆圆心不同，半径相等，则方程（*）是两圆的一条对称轴.例1　已知圆，是否存在斜率为1的直线，使得以被圆截得的弦为直径的圆过原点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．解析：假设这样的直线存在，设其方程为，的中点为，则．　　　①由已知以为直径且过原点的圆的方程为，　　　②又圆，　　　　③②③得．　④此即两圆的公共弦所在的直线方程，它与重合，于是，从而得，，代入方程①，得，即，解得或．

2、故这样的直线存在，方程为或．例2　若过点向圆引两条切线，切点为，求切点弦所在的直线方程．解析：连结，则在以为直径的圆上，即是圆与圆的公共弦．圆，　　　①圆，　　　　　　　　②两式相减整理得．此即切点弦所在的直线方程．例3求过直线和圆的交点，且过原点的圆的方程．解析：设所求的圆的方程为，因为过原点，所以．联立①②得．它即两圆的公共弦所在的直线方程，也就是，由两直线重合，即，解得．故所求的圆的方程为．