高考数学复习点拨 简解抛物线问题的六种途径

《高考数学复习点拨 简解抛物线问题的六种途径》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、简解抛物线问题的六种途径一、回归定义例1已知点P(3，2)在抛物线y2＝4x的内部，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M，使

2、MP

3、＋

4、MF

5、有最小值，并求此最小值．解：过M作准线l的垂线MA，垂足有A，则由抛物线的定义有

6、MF

7、＝

8、MA

9、．∴

10、MP

11、＋

12、MF

13、＝

14、MP

15、＋

16、MA

17、，显然当P、M、A三点共线时，即

18、MP

19、＋

20、MF

21、最小．此时，M点的坐标为(1，2)，最小值为4．二、巧设方程例2抛物线顶点在顶点，焦点在x轴，而且被直线y＝2x＋1所截得的弦长AB为，求抛物线的方程．分析：此题仅焦点位置定，而开口未定，常规方法要分类讨论．其实可巧设方程y2＝ax(a≠0)而得简解．解：由题意，可设

22、抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，将直线方程y＝2x＋1代入抛物线方程，并消去y，整理，得4x2＋(4－a)x＋1＝0．则x1＋x2＝，x1x2＝．再由弦长公式

23、AB

24、＝．∴＝，即a2－8a－48＝0．解得a＝12或a＝－4．故所求的抛物线方程为y2＝12x，或y2＝－4x．三、设而不求例3已知抛物线y2＝－8x的弦PQ被点A(－1，1)平分，求弦PQ所在的直线方程．解：设PQ的端点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝－8(x1－x2)，∴＝－4，即＝－4．故PQ所在的直线方程为y－1＝－4(x＋1)，即4x＋y＋3＝0．四、运用性质抛物线y2＝2

25、px(p＞0)的性质很多，特别是过焦点F的弦AB的性质非常重要，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有性质：①y1y2＝－p2；②x1x2＝；③＋＝等等．例4过抛物线y2＝2px焦点F的一条直线与抛物线交于P，Q两点，过P与抛物线顶点的直线交准线于M，求证：MQ平行于抛物线的对称轴．证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，则由结论，得y2＝．又焦点F(，0)，准线x＝－，则OP所在的直线方程为y＝．则得M点的纵坐标为y3＝－•，又x1＝，故y3＝－＝－．∴y2＝y3．所以直线MQ平行于抛物线的对称轴．五、选取特例特别是有关定值的抛物线问题，或是有关抛物线的选择题，常常

26、可用此法．例5过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于()(A)2a(B)(C)4a(D)解：取直线PQ平行于x轴，则p＝q＝，则＝＝4a，选(C)．六、运用向量例6过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，自A、B两准线作垂线，垂足分别为，求证：．解：抛物线的焦点，设A、B两点的纵坐标分别为，易得，又，则，故，则，即。