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1、高考数学热点考点题型探析基本不等式★热点考点题型探析★考点1利用基本不等式求最值(或取值范围)题型1.当积为定值时,求和最小值例1.已知且满足,求的最小值.【解题思路】利用，构造均值不等式解析：∵,,∴,当且仅当时等号成立,即,∴,又,∴∴当时,有最小值18.【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件．题型2.当和为定值时,求积最大值例2.已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．【解题思路】这是条件最值问题
2、，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现.应将lgx+lgy转化成lgxy考虑．解析∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴≤，∴lgx+lgy=lgxy≤lg3．由解得∴当x=2，y=时，lgx+lgy取得最大值lg3．【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一．题型3.灵活运用基本不等式求取值范围例3.若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是_______．【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解．解法一由a、b∈R+，由重要不等式得a+b≥2，则ab=a+b+3≥2+3，即≥≥≥3，∴ab≥9．
3、解法二a、b为正数，∴ab=a+b+3≥>0，两边立方得a3b3≥34aba2b2≥34，∵ab>0，∴ab≥9．解法三原条件式变为ab-3=a+b，①∵a、b均为正数，故①式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab，∵a2+b2≥2ab，∴a2b2-6ab+9≥4ab，即a2b2-10ab+9≥0，(ab-1)(ab-9)≥0，由①式可知ab>3，∴ab≥9．解法四把a、b∈R+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则△=(3-ab)2-4ab≥0，即(ab)2-10ab+9≥0，∴(ab-9)(a
4、b-1)≥0，∵ab-1=a+b+2>0成立，∴ab≥9．解法五由已知得a(b-1)=b+3，显然a>1，∴，≥，即ab≥9．【名师指引】本题用了转化思想（等式转化为不等式）、方程思想、函数思想，这是解决数学问题经常用的思想方法．【新题导练】1.若，则=_____时,有最小值，最小值为_____.解析:∵,∴,∴,∴=，当且仅当即时.2..(·华附)已知则的最小值为解析:∵，当且仅当时取等号.3.已知一动直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线的纵、横截距之和大1，求这三角形面积的最小值．解析：设直线的方程（a>0，b>0），则，∵a+b>
5、2，∴≥，即≥0，解得≥，∴≥，当a=b=2+时，三角形面积的最小值为5+2考点2利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例1.已知,求证:.【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体.[解析],相加整理得.当且仅当时等号成立.【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形.例2.已知a，b为正数，求证：≥．【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析1：∵a>0，b>0，∴≥，≥，两式相加，得≥，∴≥．解析2.≥．∴≥．解析3.∵a>0，b>0，∴，∴欲证≥
6、，即证≥，只要证≥，只要证≥，即证≥，只要证a3+b3≥ab(a+b)，只要证a2+b2-ab≥ab，即证(a-b)2≥0．∵(a-b)2≥0成立，∴原不等式成立．【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路．“分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用．这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．【新题导练】4.已知,求证:解析：∵∴①又∵②③由①②③得∴,又不等式①、②、③中等号成立的条件分别为,,故不能同时成立,从而.5.设x>0,y>0且x≠y,求证证明：
7、由x>0,y>0且x≠y,要证明只需即只需由条件,显然成立.∴原不等式成立考点3基本不等式在实际中的应用题型1.处理恒成立的有关问题例1.(·中山)若,且恒成立,则的最小值是________【解题思路】分离系数得令求最大值即可解析:事实上求函数的最大值,即的最大值,运用基本不等式不难得到.【名师指引】分离系数法是处理参数取值范围的常用方法.题型2.处理函数应用题.例2.(·梅县）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为.当年产量不足80千件时,(万元);当年产量不小于80千件时,(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场
8、分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;(2)
