高三数学一轮复习基础导航 2.10函数模型及其应用

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1、2.10函数的应用【考纲要求】1、了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。　　2、了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。【基础知识】一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决．数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于

2、实际问题的数学描述．数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提．二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力．三、在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝(a>1)、y＝(a>1)和y＝(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝(a>1)的增长速度越来越快，会超过并

3、远远大于y＝(n>0)的增长速度，而y＝(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当x>时，就有<<.四、用函数解应用题的基本步骤是：（1）阅读并且理解题意.（关键是数据、字母的实际意义）；（2）设量建模；（3）求解函数模型；（4）简要回答实际问题。五、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等六、应用题的常见模型有函数、数列、立体几何、解析集合、三角函数、不等式、概率等，其求解步骤和上面的一样。【例题精讲】例1（1）某种储蓄的月利率是0.36%，今存入本金100元，求本金与利息的和(即本息和)y(元)与所

4、存月数x之间的函数关系式，并计算5个月后的本息和(不计复利)．(2)按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少？【解析】：(1)利息＝本金×月利率×月数．y＝100＋100×0.36%·x＝100＋0.36x，当x＝5时，y＝101.8，∴5个月后的本息和为101.8元．(2)已知本金为a元，1期后的本利和为＝a＋a×r＝a(1＋r)，2期后的本利和为＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝；3期后的本利和为＝；……x期后的本利和为y

5、＝.将a＝1000，r＝2.25%，x＝5代入上式得y＝1000×(1＋2.25%)＝1000×1.02255.由计算器算得y＝1117.68(元)．答：复利函数式为y＝a(1＋r),5期后的本利和为1117.68元．例2某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业

6、获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。【解析】：（1）投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，由题设=，=，.由图知，又从而=，=，（2）设A产品投入万元，则B产品投入10-万元，设企业的利润为y万元Y=+=，（），令当，，此时=3.75当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元。2.10函数的应用强化训练【基础精练】1、一个高为H，水量为V的鱼缸的轴截面如图，其底部有一个洞，满缸水从洞中流出，如果水深为h时水的体积为v，则函数的大致图象是（）高考资源网高考资源网ABCD2、一等腰三角形周长为底边

7、长y关于腰长x的函数解析式是(　　)A．y＝x　(x≤10)B．y＝x　(x<10)C．y＝x　(5≤x≤10)D．y＝x　(5

8、市常平中学对教室用药熏消