高考数学 等差等比数列综合解析

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1、等差等比数列综合一．知识网络1．性质:设{an}是等差数列，公差为d,(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(2)an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列.(3)当n=2k-1为奇数时，=nak；(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……组成公差为n2d的等差数列.2．等差数列的判定方法(n∈N*)(1)定义法:an+1-an=d是常数(2)等差中项法:(3)通项法:(4)前n项和法:3．等比数列{an}的性质:(1)若(2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列.4．证明数

2、列为等比数列的方法:(1)定义法:若(2)等比中项法:若(3)通项法:若(4)前n项和法:若数列为等比数列。二、经典例题【例1】在等比数列{an}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；（3）试比较an与Sn的大小.（1）证明：∵bn=log2an，∴bn+1－bn=log2=log2q为常数.∴数列{bn}为等差数列且公差d=log2q.（2）解：∵b1+b3+b5=6，∴b3=

3、2.∵a1＞1，∴b1=log2a1＞0.∵b1b3b5=0，∴b5=0.∴解得∴Sn=4n+×（－1）=.∵∴∴an=25－n（n∈N*）.（3）解：显然an=25－n＞0，当n≥9时，Sn=≤0.∴n≥9时，an＞Sn.∵a1=16，a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，a6=，a7=，a8=，S1=4，S2=7，S3=9，S4=10，S5=10，S6=9，S7=7，S8=4，∴当n=3，4，5，6，7，8时，an＜Sn；当n=1，2或n≥9时，an＞Sn.【例2】已知f（x）=（+）2（x≥0），又数列{an}（an＞0

4、）中，a1=2，这个数列的前n项和的公式Sn（n∈N*）对所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn－1）.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（n∈N*），求证（b1+b2+…+bn－n）=1.解：（1）∵f（x）=（+）2，∴Sn=（+）2.∴－=.又=，故有=+（n－1）=n，即Sn=2n2（n∈N*）.当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n2－2（n－1）2=4n－2；当n=1时，a1=2，适合an=4n－2.因此，an=4n－2（n∈N*）.（2）∵bn==1+－，∴b1+b2+b3+…+bn－n=1－.从而（b

5、1+b2+…+bn－n）=（1－）=1.【例3】已知，点在函数的图象上()（1）数列的通项；（2）设，求解：（Ⅰ）由已知，，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知（*）=由（*）式得【例4】设数列｛an｝，a1＝，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an－1x2－anx＋1＝0（n∈Ｎ*且n≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.（1）求an；（2）求｛an｝的前n项和Sn.∴an＝（）n＋.证明（1）∵α＋β＝，αβ＝代入3α－αβ＋3β＝1得an＝an－1＋，等差等比数列综合一．知识网络1．性质:设

6、{an}是等差数列，公差为d,(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(2)an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列.(3)当n=2k-1为奇数时，=nak；(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n……组成公差为n2d的等差数列.2．等差数列的判定方法(n∈N*)(1)定义法:an+1-an=d是常数(2)等差中项法:(3)通项法:(4)前n项和法:3．等比数列{an}的性质:(1)若(2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列.4．证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若(2

7、)等比中项法:若(3)通项法:若(4)前n项和法:若数列为等比数列。二、经典例题【例1】设数列｛an｝，a1＝，若以a1，a2，…，an为系数的二次方程：an－1x2－anx＋1＝0（n∈Ｎ*且n≥2）都有根α、β满足3α－αβ＋3β＝1.(1)求an；（2）求｛an｝的前n项和Sn.【例2】在等比数列{an}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an；（3）试比较an与Sn的大小.【

8、例3】已知f（x）=（+）2（x≥0），又数列{an}（an＞0）中，a1=2，这个数列的前n项和的公式Sn（n∈N*）对所有大于1的自然数n都有Sn=f（Sn－1）.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=（n∈N*），求证（b1+b2+…+bn－n）=