高考数学复习点拨 用向量方法求空间距离

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1、用向量方法求空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．一．求点到平面的距离例１.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．解：如图，设4i，4j，2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(

2、4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．∴　，，　　　　，，．设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，∴　＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．由平面EFG，得，，于是　　，．∴　整理得：，解得．∴　＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝．∴　故点B到平面EFG的距离为．说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．二．求两条异面直线间的距离例2已知正方体ABCD－的棱长为1，求直线与AC的距离

3、．分析：设异面直线、AC的公垂线是直线，则线段在直线上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．解：如图，设i，j，k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系－xyz，则有，，，．∴　，，．设n是直线方向上的单位向量，则．∵　n，n，∴　，解得或．取n，则向量在直线上的投影为　　　n··．由两个向量的数量积的几何意义知，直线与AC的距离为．说明：用向量法求两条异面直线间的距离，同样不必作出公垂线段.但缺点是运算量较大,在运算时要注意运算的准确性.