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1、高三数学用向量方法求空间角和距离知识回顾1、空间角问题分析：空I'可的角主要有异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角.(1)求异面直线所成的角—♦—*a设d、b分别为异面直线a、b的方向向量，5——则两界面直线所成的角a=arccosab(2)求线面角设7是斜线1的方向向量，方是平面©的法向量,则斜线1与平面a所成的角a-arcsin7•彳ln(3)求二面角法一.在Q内方丄/,在0内厶丄/,其方向如图,则二面角a-l-0的平面角©=arccos法二、设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧,另一个指向外侧，则二面角a—l—卩的平面角4=arccosh,•n
2、22、空间距离问题分析：构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求.(1)求点面距离法一、设比是平面Q的法向量，在Q内取一点B,AB•nn法二、设A0丄Q于0,利用A0丄Q和点0在Q内的向量表示,则A至UQ的距离定点0的位置,(2)求异面直线的距离法一、找平而0使bu0且°丄0则异面直线a、b的距离就转化为直线a到平面0的距离，又转化为点A到平面0的距离.法二、在a上取一点A,在b上取一点B,设方、方分别为异面直线a、b的方向向量，(n丄aD例1.如图，在棱长为2的正方体ABCD—ABCQ中，E
3、、F分别是棱的中点.(I)求异面直线DE与FC、所成的角;(II)求J3C
4、和面EFBD所成的角;(III)求B、到面EFBD的距离例2・如图，三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形,AA'B'B是矩形，平面丄平ffiABCDo(I)若曲'=1,求直线AB到fflDA'C的距离.(II)试问：当的长度为多少时，二面角D-A'C-A的大小为60°?例3.正三棱柱ABC-B}CX的所有棱长均为2,P是侧棱必,上任意一点.(I)求证：直线qp不可能与平面ACC.A垂直；(II)当Bq丄时，求二面角C-B.P-C,的大小.分析：结合图形口头分析【课堂练习】(小黑板展示题目，学生
5、说答案)1.在正四面体S-ABC中，棱长为a,E,F分别为SA和BC的中点，求异面直线BE和SF所成的角.2.在边长为1的菱形ABCD中，ZABC=60,将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1,求二面角B—AC—D的余弦值.3.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD丄底面,且PD=AD=a,问平而PB4与平PBC能否垂直？试说明理由.4.在直三棱柱ABC-A^C,中，ZA=90O,Q,G分别为BC,BlCl,AAl的中点，且AB=AC=AAl=2.(1)求q到面ACE的距离；(2)求BC到面GBC的距离.5•如图，在几何体中，△/!%是等腰直角三角形，^ABC
6、=90°,甌和Q都乖直于平面朋C,且BE=AB=2,CD=,点尸是初的屮点.(I)求证：〃尸〃平面ABC；(1【)求力〃与平面〃"所成角的大小.f
