高考数学复习点拨 例谈两角和正切公式的“四用”

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1、例谈两角和正切公式的“四用”两角和正切公式为tan(+)=(,,+≠k+),它是解决正切函数问题的基本公式,应用非常广泛,下面举例说明.一正用指正向运用公式,用于求正切的两角和或可转化为求两角和问题.例1已知tan=,tan=-2,0°<<90°,90°<<180°,求+的值.分析解此类题的一般步骤是:⑴求出+的某一三角函数值;⑵确定+所在范围.由于已知条件给出是正切,故可优先考虑用正切的和角公式.解:由tan=,tan=-2,得tan(+)===-1,又0°<<90°,90°<<180°,∴90°<+<270°.而在90°与270°之间只有135°的正切值等于-1,∴+=135°.评

2、注:应注意+所在范围,否则易产生误解.二逆用例2⑴计算的值.⑵计算的值.分析:从所求式的结构,可考虑逆用公式.解:⑴逆用公式,得=tan(53°+7°)=tan60°=.⑵∵1=tan45°,∴==tan(45°+75°)=tan1-.评注:逆用公式是指从右往左用公式,即单角往复角转化.往往伴随着常数三角化的运用,如1=tan45°等,特别是解决“”型问题.三变用由题目中出现tan+tan与tantan结构,可变用两角和的正切公式:tan+tan=tan(+)(1-tantan).例3 求的值.分析:题目中出现了与,因此考虑用两角差的正切公式变形形式求解.解:原式.评注:一股地,题目中

3、若出现和,通常利用两角和与差的正切公式的变形式解决问题.四活用例4已知非零实数a,b满足=tan,求的值.分析:由=,联想到两角和的正切公式,便有以下解法.解:由题设,得=tan,令=tan,则=tan,即tan==tan=.故=.评注:在数学解题中,常会碰到形如“”的结构,这时可活用两角和的代换,就能使比较隐蔽关系显现出来,从而实现难题巧解.

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