高考一轮数学复习 x21数学归纳法及其应用 理 同步练习（名师解析）

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1、选修第2章第1节知能训练·提升考点一：用数学归纳法证明等式1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋……＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)A．1＋2＋22＋……＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋……2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋……2k－1＋2k＋1－1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋……2k－1＋2k＝2k－1＋2k解析：当n＝k时，等式为1＋2＋22＋……＋2k－1＝2k－1.那么当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋22＋……＋2k－

2、1＋2k，因此只需在归纳假设两端同时添加2k，即1＋2＋22＋……＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k.答案：D2．设f(x)＝1＋＋＋…＋(x∈N*)．求证：n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N*且n≥2)．证明：(1)n＝2时，左边＝2＋f(1)＝2＋1＝3，右边＝2·f(2)＝2(1＋)＝3，∴等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即k＋f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝kf(k)．那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝kf(k)＋1＋f(k)＝(k＋1)

3、f(k)＋1＝(k＋1)[f(k)＋－]＋1＝(k＋1)f(k＋1)－1＋1＝(k＋1)f(k＋1)．即n＝k＋1时，等式亦成立．由(1)(2)知对于n∈N*，且n≥2等式成立．考点二：用数学归纳法证明不等式3．(·云南模拟)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞(n＜1且n∈N)时，在证明n＝k＋1这一步时，需要证明的不等式是(　　)A.＋＋…＋＞B.＋＋…＋＋＞C.＋＋…＋＋＞D.＋＋…＋＋＋＞解析：＋＋…＋＞(n＞1且n∈N)的左边有n项，在证明n＝k＋1这一步时，需要证明的不等式是＋＋…＋＋＋＞，故选D.答案：D4．当n＞1，且n

4、∈N*时，求证：＋＋＋…＋＞.证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝＞，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即＋＋＋…＋＞.当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＋＋＝(＋＋＋…＋)＋(＋＋－)＞＋(＋＋－)＝.即n＝k＋1时，不等式成立．由(1)、(2)可知，原不等式对任意n＞1且n∈N*都成立．考点三：用数学归纳法证明整除问题5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是(　　)A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命

5、题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立解析：A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．答案：D6．用数学归纳法证明：(3n＋1)7n－1(n∈N*)能被9整除．证明：令f(n)＝(3n＋1)7n－1，(1)f(1)＝(3×1＋1)71－1＝27能被9整除；(2)假设f(k)(k∈N*)能被9整除，则f(k＋1)－f(k)＝[(3k＋4)·7k＋1－1]－[(3k＋1)·7k－1]＝9·(2k＋3)·7k能被9整除．∴f(k＋1)能被

6、9整除，∴由(1)、(2)知，对一切n∈N*，命题成立．考点四：用数学归纳法解决探索性问题7．观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出的结论：________________________________________________________________________.解析：各等式的左边是第n个自然数到第3n－2个连续自然数的和，右边是奇数的平方，故得出结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n

7、＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)28．已知数列{an}满足条件(n－1)an＋1＝(n＋1)·(an－1)，且a2＝6，设bn＝an＋n(n∈N*)，求{bn}的通项公式．解：当n＝1时，由(n－1)an＋1＝(n＋1)(an－1)，得a1＝1.当n＝2时，∵a2＝6，代入(n－1)an＋1＝(n＋1)(an－1)，得a3＝15，同理可得a4＝28，再代入bn＝an＋n，有b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32.由此猜想bn＝2n2(也可由an＝1，a2＝6＝2×3，a3＝15＝3×5，a4＝28＝4×7，猜想an＝n·(

8、2n－1))．要证bn＝2n2，可证an＝bn－n＝2n2－n，①当n＝1时，a1＝2×12－1＝1，前面已求得a1＝1，∴猜想正确．②假设n＝k时，ak＝2k2－k(k≥1，k∈N*)，则当n＝k＋1时，由已知(n－1)an＋1＝(