众里寻他——求解一类恒成立问题的通法

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1、众里寻他——求解一类恒成立问题的通法充分挖掘隐藏在数学知识和数学思想方法中的人文价值，是每位数学教师义不容辞的责任。在求解恒成立问题中的参数取值时，通常采取等价转化的方法。但有时直接等价转化比较困难，这时采取的方法是：先确定参数所在范围——“众”，再从“众”里寻出参数的最终范围——“他”，同样也能达到等价转化的目的。这种求参数的方法，称为“众里寻他”。下面就让我带你追寻“他”的行踪，一睹“他”的尊容。小隐于野例1：关于x的不等式ln（1+x）<ax在（0，+∞）上恒成立。求实数a的取值范围。分析：通常考虑通过分离常数，等价转化为求函数的最值或值域。但函数f（x）=1

2、n（1+x）/x（x>0）的最大值或值域不易求得，尝试用“众里寻他”法。解：ln（1+x）<ax在（0，+∞）上恒成立ln（1+x）-ax<0在（0，+∞）上恒成立。设h（x）=ln（1+x）-ax，则h′（x）=1/1+x-a。若a≥1，则x∈（0，+∞）时，h′（x）=1/1+x-a<0恒成立。∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，+∞）上为减函数，有ln（1+x）-ax<h（0）=0。即ln（1+x）<ax在（0，+∞）上恒成立。若a≤0显然不满足条件。若0<a<l，则h′（x）=1/1+x-a=0，x=1/a-1，

3、∴x∈（0，1/a　-1）时h′（x）>0。∴h（x）=ln（1+x）-ax在[0，1/a　-1）上为增函数.当x∈（0，1/a　-1）时，h（x）=ln（1+x）-ax>0不能使ln（1+x）<ax在（0，+∞）上恒成立。点评：本解法中，“R”即为“众”。先证明a≥1符合题意，实质上证明了充分性成立；再证明a≤0和0<a<1不符合题意，从而证明了a≥1也是必要条件。最终寻到了“他”。大隐于市例2（2010江苏高考，第20题）：设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数。其导函数f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x

4、∈（1，+∞）都有h（x）>0，使得f′（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）。（Ⅰ）设函数f（x）=ln（x）+　　（x>1），其中b为实数。（i）求证：函数f（x）具有性质P（b）。（ii）求函数f（x）的单调区间。（Ⅱ）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1、x2∈（1，+∞），x1<x2，设m为实数，α=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，且α>1，β>1，若

5、g（α）-g（β）

6、<

7、g（x1）-g（x2）

8、,求m的取值范围。分析：（Ⅰ）略。（Ⅱ）由于g（x）是抽象函数，通过等价

9、转化显然是行不通的，“众里寻他法”舍你其谁？解：（Ⅰ）略。（Ⅱ）由题设知，g（x）的导函数g′（x）=h（x）（x2-2x+1），其中函数h（x）>0对于任意的x∈（1，+∞）都成立。所以当x>1时，g′（x）=h（x）（x-1）2>0，从而g（x）在区间（1，+∞）上单调递增。1、当m∈（0，1）时，有a=mx1+（1-m）x2>mx1+（1-m）x1=x1，α<mx2+（1-m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理可得β∈（x1，x2）。所以由g（x）的单调性知：g（α）、g（β）∈（g（x1），g（x2）），从而有

10、g（α）-g（β）

11、

12、<

13、g（x1）-g（x2）

14、，符合题设。2、当m≤0时，α=mx1+（1-m）x2≥mx2+（1-m）x2=x2,β=（1-m）x1+mx2≤（1-m）x1+mx1=x1。于是由α>1，β>1及g（x）的单调性知：g(β)≤g（x1）<g（x2）≤g（α），所以

15、g（α）-g(β)

16、≥

17、g（x1）-g（x2）

18、，与题设不符。3、当m≥1时，同理可得α≤x1、β≥x2，进而得

19、g（α）-g(β)

20、≥

21、g（x1）-g（x2）

22、,与题设不符。综合上所述得所求的m的取值范围为（0，1）。点评：此题运用“众里寻他法”来解倒不难想到，但以抽象函数为背景，是绝

23、大部分考生始料未及的。这给平时惯用的以“导数”为工具来解决此类问题的思维方式提出了严峻的考验，体现了新课程理念所倡导的对数学思想方法本质的理解，也符合“构建共同基础，提供发展平台”的新课程理念，这正是命题者的“匠心”所在。庐山面目“众里寻他法”中的“众”，就是指包含所求参数范围的大范围（根据题意，可由题设推得）。在这个大范围中，证明“某一范围”满足题设，余下的范围都不满足题设，实质上就是证明了“某一范围”既是题设的充分条件，又是题设的必要条件。这个“某一范围”就是“他”——参数的取值范围。在求解恒成立问题中的参数取值时，如等价