建构递进问题，激活创新思维

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1、建构递进问题，激活创新思维数学创造性思维既是逻辑思维与非逻辑思维的综合，又是发散思维与收敛思维的辩证统一。数学创造性思维不同于一般的数学思维，它不仅发挥了人脑的整体工作特点和下意识活动能力，而且发挥了数学中形象思维、直觉思维、审美等综合作用。数学创造性思维有若干特殊形式（如逆向思维、扩展性思维、简缩思维、发散思维等），有较多区别于其他思维的特征，如从思维的结果看，具有创新性和求美性；从思维的过程看具有突破性和瞬时性、灵活性和简捷性；从思维的方向看具有指向性和综合性。知识与思维能力是密切相关的，脱离开知识，思维能力的培养便失去基础，不去发展思维能力，难以有效地掌握知识，两者是

2、不可分割的辩证统一体。数学家庞加莱曾指出：“数学发明创造就是识别、选择，是知识的重新组合”。因此，有利于学生的数学创造性思维的形成和发展。要培养学生的数学创新能力，首先必须培养学生的数学创造性思维。数学教学中建构递进问题是激活学生思维，培养学生创新思维的有效途径之一。一、建构概念型递进问题概念是反映对象本质属性的一种思维形式，深刻理解概念才能灵活应用。概念型递进问题诱使学生在问题意识驱动下，产生积极的探索趋向，在感受知识创新的过程中，加深概念的认识。如教学正方形时，我们建构下面一组递进问题，让学生自行探究。1.四边形ABCD在时为平行四边形？2.□ABCD在时为矩形？在时为

3、菱形？3.四边形ABCD在时为矩形?在时为菱形？4.矩形ABCD在时为正方形?菱形ABCD在时为正方形？5.□ABCD在时为正方形？6.四边形ABCD在时为正方形。从图形最低状态开始，每层递进，提出一个新问题，引导学生跳出狭窄的单向思维定势，从边、角、对角线等不同角度，全方位探求满足新的特殊四边形的条件，直至最后，水到渠成，整个学习过程成为再发现、再创造的过程。二、建构解题型递进问题教材中典型例、习题蕴含着丰富的潜在教育功能，教学时从巩固双基，发展能力入手，构建与例、习题相关的递进问题，引导学生探究解法，发现规律，养成创造性思维的习惯，学会学习的本领。我们建构下面一组递进问

4、题，让学生自行探究。已知直线y=kx+b经过点A(9,10)和点B(24,20)。1．求k和b时，先由条件可得，再由条件可得，从而解出k=，b=。2．满足已知条件的一次函数解析式为，这个一次函数的图象与两坐标轴交点坐标是。3．在平面直角坐标系中画出这个函数的图象。4．像上面的方法叫做待定系数法。5．这条直线是否经过点C(30，24)?6．求点O到直线AB的距离。7．求△AOB外接圆与内切圆半径。8．求证OA、OB是方程x2－10x+24=0的两根。又如：假设有8人参加一个宴会，每2人之间都进行一次握手，问共发生多少次握手？这个问题不仅贴近学生生活实际，容易引起学生的兴趣，而

5、且它的解决包含着多种策略，能很好地培养学生的创造性思维。解法1构造图形法。思考1如图，在圆周上用A、B、C、D、E、F、G、H表示8人，A与其余7人发生7次握手，B与其余6人发生6次握手……G与其余1人发生一次握手，所以共发生7+6+5+…+1=28次握手。思考2这个问题实际上等价于在凸八边形中，有多少条边和多少条对角线。由几何知识可得8+=28。解法2归纳法。先解决与本题有关的简单问题。二人握手：1次；三人握手：1+2=3次；四人握手：1+2+3=6次；五人握手：1+2+3+4=10次；……八人握手：1+2+3+4+5+6+7=28次。由此可将问题推广到一般，即求n人两两

6、握手的次数1+2+3……+（n－2）+（n－1）=n（n－1）。从最简单问题开始，让学生独立思考，自主探究，拾阶而上。在问题的发现与解决中体验成功，愉悦学习，实现思维创新。三．建构探索型递进问题探索问题特点鲜明，形式新颖，思考方位不定，综合性、逻辑性较强。教学中从学生熟知问题出发，构建一些富有探索性递进问题，引导学生独立钻研，积极探索，寻找联系，尝试猜想，合理论证，是培养学生创造思维的重要途径。如圆的复习时，我们构建了下面一道递进型开放问题。已知如图，正△ABC内接于⊙0，⊙0’与BC相切于C点，与⊙0、AC分别相交于点D和E，直线AD交⊙0’于F，交BC延长线于G。1．试

7、说明直线EF与BG的位置关系；2．判断△CEF的形状；3．写出图中与DE?AG相等的线段乘积式，并说明理由；4．如果F为AG中点，⊙0中弧AD与弧DC是否相等？证明你的结论。顺应学生求奇之好，鼓励突破常规思维，直觉观察，轻松探索，大胆猜想。指导学生复原直觉产生的思维过程，补上被简约的环节，实现认知与思维品质发展的和谐统一，学会创造性学习。因此，在教学过程中，教师注重对学生学习过程的引导，适时创设探索性的教学情景，提供让学生思考、尝试、探索、发现的机会，形成学生主动参与教学的氛围，让学生获得成功的体验，可以有效地激发