数学模型数学建模 第一次作业 入门实验

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1、1、数学建模入门作业1、贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那

2、么在第6年后，每月的还款额应是多少？(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是:(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。解答：（1）根据题意设Ak为第k个月的欠款额，r为月利率，x为每个月的还款额则有，第k个月的欠款额=第k-1个月的欠款额×月利率+第k-1个月的欠款额-每个月的还款额即第k个月的欠款

3、额：Ak=Ak－1（1+r）－x，k=1，2，……，N（1）其中N为贷款的总月数，A0为最初贷款额；由方程（1）容易推出A1=A0(1+r)x;A2=A1(1+r)x=A0(1+r)2-x[(1+r)+1];第k个月的还款金额为Ak=A0（1+r）k－x[(1+r)k-1+…+(1+r)+1]=（2）贷款总月数为N，也就是说，第N个月的欠款额为0，即AN＝0，在方程（2）中令N=k，导出每月的还款额，可见每个月的还款额一定大于贷款额×月利率。综上所述将r＝0.006，n＝240，A0＝2×105代入可计算出每月还款额

4、x=1574.70元，共还款1574.70×240＝377928.00元，共计付利息177928.00元。（2）在贷款满5年后，根据题意有k＝5×12=60，代入公式计算可得到则一次付款额A60＝173034.90元。（3）根据题意从银行调整利率后算起，A0=173034.90，n=15×12=180，r＝0.008，由此可以得到x＝1817.33元，即每月的还款额应为1817.33元。（4）根据题意，提前3年还完贷款则为17年还完贷款。如果小王夫妇不请请这家借贷公司帮助还款，则每月的还款额约为1574.7元，则总共

5、的还款额为1574.7×12×20＝377928元。如果小王夫妇请这家借贷公司帮助还款，根据题意，每半个月付款一次，即每月付款2次，一次付款额是原付给银行还款额的1/2，还需考虑付给借贷公司的佣金，因此总的还款额是1574.699×0.5×17×12×2+200000×10%＝341238.60元。因此，小王夫妇应该请这家借贷公司帮助还款。2、冷却定律与破案按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为To(To

6、于晚上7时30分发现一具女尸，当晚8时20分法医测得尸体温度为32.6℃,一小时后，尸体被抬走时又测得尸体温度为31.4℃,，已知室温在几个小时内均为21.1℃,由案情分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人，但张某矢口否认，并有证人说:“下午张某一直在办公室，下午5时打一个电话后才离开办公室”。从办公室到案发现场步行需要5分钟，问张某是否能被排除在犯罪嫌疑人之外？解答：首先根据Newton冷却定律列出其方程：，（1）式中为系统的温度，为环境的温度，为客观时间，为散热系数。若尸体温度按照牛顿的冷却定律来变化，设表示时刻尸体

7、的温度，并记晚上8点20分为t=0时刻。则根据实测数据有，（2）推理一下：假设受害者死亡时体温是正常的，即，如果知道的解，则可以知道t0。由方程（1）得其通解，（3）式中为被害者家的温度，即环境温度。根据方程（2）确定常数和散热系数，于是有，，解方程组得，，，代入方程（3），（4）当时，该方程的解为hhmin所以，被害者的死亡时间约为：8：20-2：57=5：23；这也就是说，被害人的死亡时间约为5：23，张某有足够长的时间可以作案，因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。3、锻炼想象力、洞察力和判断力的问题（只简单回答出理

8、由即可）(1)某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？解答：可以将两个过程叠加在一起，看作两个人同时从起点和终点出发，，所以必在中间某一时间两人相遇，相遇点即为同一时刻经过路径中的同一地点。(2)甲乙两站之间有汽车相通，每隔1