函数 图像的平移变换与伸缩变换

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1、函数图像的平移变换与伸缩变换在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数的图像是由的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数的图像变换的内容。三角函数也属于函数，因此一般函数的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。大家知道，的图像

2、向上(下)平移10个单位，可得到()，即()的图像；的图像向右(左)平移，可得到()的图像；的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的)，可得到()的图像；的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的)，可得到()，即()的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反映出来。表格为变换内容解析式的相应变化向右平移向左平移向下平移10向上平移10横向伸长至原2倍横向缩短至原纵向伸长至原3倍纵向缩短至原从上面的表格，我们可以感到平移变换和伸缩变换有如下特点：左加右减，下加上减；横向变换变x，纵向变换变y；各种变换均在x、y头上直接变；x、y的变化总与我们的感觉相反。例如，向左或向右

3、平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x；向上平移或向下平移、纵向伸长或纵向缩短时变化的均为y；从这可以看出横向变换变x，纵向变换变y。向右平移时，我们感觉图像上的每个点的横坐标应增加，但x的变化却为把x变为；横向伸长至原来的2倍时，我们感觉每个点的横坐标应变为原来的2倍，但实际上x的变化却为把x变为；从这可看出x、y的变化总与我们的感觉相反。从上面的解析式的相应变化中可看到，x、y的变化均是直接把x或y变成多少，其余一律照抄下来。例如，的图像向右平移2个单位，应得到的图像，而不是；的图像横向伸长至原来的3倍，应得到，即的图像，而不是的图像，这就体现了各种变换均在x、y头上直接变。把平移变换和

4、伸缩变换的规律总结成口诀，为：横向变换动x，纵向变换动y；直接在x、y头上动；解析式的相应变化总与我们的感觉相反。这个变换不但对三角函数适用，对任意函数也适用。例如，的图像向右平移3个单位，得到的图像。教学生应用口诀时，要把口诀具体转化为式子表示出来，就像那个表格中的一样，向右平移3个单位，就把x变为；横向伸长至原来的3倍，就把x变为。例如，函数的图像向右平移3个单位，应得到的图像，而不是的图像；函数的图像横向伸长至原来的3倍，应得到的图像，而不是的图像。这里是学生容易出错的地方，用式子，来表达口诀，学生较易接受，犯错的机率也大幅下降。还有，纵向变换动y，是在y头上直接动。学生可能以前纵向变

5、换是在解析式等号的右边进行变式的，如果是这样变换方法就与刚才总结的口诀不相符了，只有强调直接在y头上动，才符合本文中的口诀，这与以前的不矛盾，只是改变了变式的左右面。只有从本质上掌握了平移变换和伸缩变换的方法，才能应对各种复杂和连续的变换的题目，才能学会变换的逆向使用和变形使用。例如，的图像经过怎样的变换能得到的图像呢？应有好几个变换方法，需要进行横向平移、横向伸缩、纵向伸缩，纵向伸缩第几步执行都可以，横向平移和横向伸缩谁先谁后将使横向平移时的平移量不一样。只有从本质上掌握了平移变换和伸缩变换的方法，才能体会到这一点。以上是我多年教学中对变换的一点点感受，我认为学生在这个知识点上认识不足，不

6、能掌握到位，所以写了一篇这样的论文。文中难免有不足之处，还望专家和同仁指出。