从单位分数到欧德斯猜想

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1、从单位分数到欧德斯猜想一，埃及分数简介　　分数，连小学生都知道，例如，。可是你是否知道，还有一种单分子分数，即分子为1，分母为任意数。这种分数叫埃及分数，或者叫单分子分数和单位分数。　　埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国。人们在考察古埃及历史时注意到象阿基米德这样的数学巨匠，居然也研究过单位分数。　　本世纪一些最伟大的数学家也研究埃及分数，例如，沃而夫数学奖得主，保罗-欧德斯，他提出了著名的猜想：。难倒了世界上第一流的数学家。　　当9个面包要平均分给10个人的时候，古埃及人不知道每个人可以取得，而是说每人，，，，。真叫人难以

2、想象，你连都搞不清楚，怎么知道。所以几千年来，数学史家一直坚持认为，古埃及人不会使用分数。　　　1858年，苏格兰考古学家莱登买到了一份古埃及草纸文件，经过鉴定这是繁生于尼罗河泛滥形成的池塘和沼泽地里的草制成的纸，成文年代约在公元前1700年。　　　那么，古埃及的人们，是怎么算的呢？首先，把2个物品分成4个，先给每个人1个，剩下的1个再分成3等分，均分结果，每人分到加的，也就是+=。这份至今保存在大英博物馆的“莱登”草纸，用很大的篇幅记载着将真分数分解成单分子分数，这种运算方式，遭到现代数学家们纷纷责难，认为埃及人之所以未能把算术

3、和代数发展到较高水平，其分数运算之繁杂也是原因之一。　　埃及金字塔是举世闻名的，表明古埃及人具有高超的建筑技巧和超凡的智力，难道最简单的现代分数也不懂？金子塔所蕴含的难道是一篇粗劣的作品？　　　现代数学已经发展到十分抽象和复杂的程度，而埃及分数却是这样粗糙，在人们的记忆里早该烟消云散了，然而，它产生的问题直到今天仍然引起人们的重视。四川大学已故老校长柯召写道：“埃及分数所产生的问题有的已成为至今尚未解决的难题和猜想，他们难住了许多当代数学家”。柯召本人至死都没有能够证明这个猜想。二，古老的传说　一个古老的传说是：　老人弥留之际，将

4、家中11匹马分给3个儿子，老大，老二，老三。二分之一是5匹半马，总不能把马杀了吧，正在无奈之际，邻居把自己家的马牵来，一共12匹马了，老大二分之一，牵走了6匹；老二四分之一，牵走了3匹；老三六分之一，牵走了2匹。一共11匹，分完后，邻居把自己的马牵了回去。即。　奇妙的埃及分数终于调动自己的潜在难度击败了敢于轻视他们的人们。并且给与嘲笑他的人以难堪的回答。两千多年后的数学家终于发现：；；。此时才大梦初醒。埃及分数以旺盛的生命力屹立在世界数坛，使三千年后的数学家也自叹弗如。例如，分马问题，能否设计出。　　经过2000多年的努力，终于揭

5、开其中的噢秘：有42种可能，共43种分法。；；；；；…………………。　原先人们以为，这样的情况大概有无穷多个，可是，继续追击却一无所获，真是难以预料。数学家发现了有大约10种情况，有人给出了全部43种情况。三，近代一些研究　当限定分母为奇数时，把“1”分解为埃及分数，项数限定为9项，共有5组解：以上5组解是在1976年才找到。限定为11项时，发现了1组解最小分母是105。若大于105则有很多的解。　1/n型分数还可以表示成为级数分解式：埃及分数成为不定方程中一颗耀眼的明珠。埃及分数最著名的猜想是欧德斯猜想。四，欧德斯猜想　　埃及分

6、数最著名的猜想是Erods猜想：1950年Erods猜想，对于n>1的正整数，总有：（1）　　其中，x，y，z。都是正整数。　　Stralss进一步猜想，当n≥2时，方程的解x，y，z满足x≠y，y≠z，z≠x。x1，　　。（3）也成立。五，命题的转换　　2002年，提出一个

7、更强的命题：设x=AB，y=AC，Z=ABCp。（B

8、(PC+PB+1)，需使得B

9、(PC+1)，设PC+1=TB；若要C

10、(PC+PB+1)，需使得C

11、(PB+1)，设PB+1=SC；对于P=4R+1形，若要4

12、p(C+B)+1],需C+B=4K-1，对于P=

13、4R+3形，若要4

14、[P（C+B）+1]，需C+B=4K+1。于是，形成一个二元一次不定方程组：　　-PC+TB=1(8)　　SC+(-P)B=1(9)　　例如p=17时，A=3，B=2，C=5，T=43，S=7，k=2。　　.　　即.　　等价于下