实变函数与复变函数的联系和区别

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1、学号：本科毕业论文学院数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2011级姓名论文题目实变函数与复变函数的联系和区别指导教师职称教授2015年4月30日目录摘要1关键词1Abstract1KeyWords10前言11实变函数与复变函数定义、性质的区别和联系21.1实变函数与复变函数二者建立的函数空间的区别和联系21.2实变函数与复变函数关于极限概念的区别和联系21.3实变函数与复变函数中的导数41.4实变函数与复变函数关于可微的关系51.5解析函数零点的孤立性与解析函数的惟一性61.6解析函数的无穷可微性71.7实变函数与复变函数中的初等函数性质72实变函

2、数与复变函数关于定理的区别和联系82.1实变函数与复变函数关于中值定理的区别和联系82.2实变函数与复变函数中的最值原理9参考文献10实变函数与复变函数的联系和区别学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：职称：教授摘要：作为《数学分析》的后续课程，《复变函数论》与《实变函数论》是微积分学的深入和发展，是现代数学的基础之一，也是数学专业的重要基础课.尽管实变函数中的许多结论可以推广到复变函数中，但由于复变函数的定义域和值域都是二维平面，因此它们的证明思想和方法有很大的差异.本文就其二者在一些方面的联系和区别进行了总结，从而能更深刻理解

3、知识点.关键词：实变函数；复变函数；解析函数；中值定理TheRelationandDistinctionbetweenRealVariableFunctionandComplexFunctionAbstract:Assubsequentcoursesofmathematicalanalysisandimportantbasiccoursesofspecializedmathematics,complexvariablefunctiontheoryandrealvariablefunctiontheory,whichisoneofthefoundation

4、ofmodernmathematicsaccompanywiththedevelopmentofcalculus.Althoughmanyconclusionsoftherealvariablefunctioncanbeappliedtothecomplexfunction,whosedomainofdefinitionandrangeareaplane,thelineandmethodofproofintheirconclusionshavegreatdifference.Inthispaper,therelationanddistinctionbet

5、weentheminseveralaspectsaresummarized,whichcanbeutilizedformoreprofoundunderstandingrelevantknowledge.Keywords:Realvariablefunction;Complexfunction;Analyticfunction;Meanvaluetheorem0前言复变函数的研究对象是定义域为复数的函数的微积分，还有幂级数展开等性质，可以理解为复变函数的《数学分析》.实变函数论9是一种比较高深精细的理论，其应用很广泛，代表现代数学的特征，同时作为数学分析

6、的基本工具，其观点和方法对拓扑学和泛函分析等分支有着极其重要的影响.实变函数论的研究对象是较可导函数更为广泛的函数类：可测函数论.二者的函数变量由实数扩充到复数，从对复数的概念及实函数的具体研究来看，复变函数与实变函数的一些定义、性质既有区别又有联系.1实变函数与复变函数定义、性质的区别与联系1.1实变函数与复变函数二者建立的函数空间的区别和联系实变函数是以实数为变量的函数，其值域也是实数，并且可以在同一个二维平面内表示出一元实函数的图像，即表示出函数的定义域和值域；而复变函数是在复数域的基础上研究的另一类函数，其定义域和值域只能在二维空间上表示，且函数

7、图像也不容易表示出来.总之，二者所建立的函数空间不一样.当然对于二元实函数来说，由于,复变函数的实部和虚部都是,的函数，由此可以把复变函数看作是两个二元实变函数的有序组合，从这一点也说明复变函数是实变函数的推广和发展.1.2实变函数与复变函数关于极限概念的区别和联系1.2.1实变函数的极限定义趋于时的函数的极限设函数在点的某个空心邻域内有定义，为实数.若对任给的>0，存在正数(<)，使得当时有,则称函数当趋于时以为极限，记作或趋于时函数的极限设函数为定义在上的函数，为定数.若对任给的>0，存在正数()，使得当时有，9则称函数当趋于时以为极限，记作或1.2

8、.2复变函数的极限定义趋于时的函数的极限设函数=于点集上有定义，为的聚点.如存在