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1、复变函数复变函数与实变函数微积分领域浅析15051254--唐亮复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它研究复变数的函数，很幸运这个学期选到陈老师的复变函数，受益匪浅。复变函数历史悠久，内容丰富，理论十分完美，应用也十分广泛。首先略微简述一下复变函数的历史。复数起源于求代数方程的根。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早
2、期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。以下我将对已学的复变函数微积分的相关知识做以总结和归纳。复变函数的微积分理论㈠复变函数的微分性质我们知道函数的导数是由极限来定义的，所以我先把复变函数的极限理论做以梳理。①复变函数极限
3、的概念：函数ω=f(z)定义在z0的去心邻域0＜│z-z0│＜ρ内，如果有一确定的数A存在，对于任给的ε＞0，相应的必有一个正数δ(ε)使得当0＜│z-z0│＜δ（0＜δ≤ρ)时，有│f(z)-A│＜ε。即称z→z0是的极限。另外复变函数的连续性叙述与实变函数中的叙述是相似的②复变函数导数的概念：设函数ω=f(z)在包含z0的邻域D内有定义，如果极限存在，那么f(z)在z0处可导（或可微）。③复变函数的求导法则：与实变函数一样，求导法则大致相同。由以上的定义及性质可以看出复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变
4、函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的。④复变函数可微的必要、充分、充要条件⒈必要条件，设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)可微，则必Ⅰ偏导数ux、uy、vx、vy在点(x,y)存在；Ⅱu(x,y)、v(x,y)在点（x,y），满足柯西-黎曼方程⒉4复变函数充分条件，设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在D内一点z=x+iv可微的充分条件是Ⅰux、uy、vx、vy在点（x,y）处连续；Ⅱu(x,y)、v(x,y)在点（x,
5、y）处满足柯西-黎曼方程⒊充要条件，设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在D内一点z=x+iv可微的充要条件是Ⅰ二元函数u(x,y)、v(x,y)在点（x,y）处可微Ⅱu(x,y)、v(x,y)在点（x,y）处满足柯西-黎曼方程㈡复变函数的积分性质这一部分主要分为四个部分，分别为不定积分、定积分、柯西定理、积分的计算。①复变函数的不定积分区域D内f(z)的带有任意常数的原函数F（z）+C成为f(z)在D内的不定积分，记为,F（z）+C，这里f(z)为被积函数，z为积分变量。②复变函数的定积分复变函数的定积分
6、依然是以黎曼和的形式定义的。函数ω=f(z)定义在区域D内，C为区域D内的起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点位A=z0,z1,…zk-1,zk…zn=B,每个弧段(k=1、2…n)上任取一点ζk作和式Sn=·(zk-zk-1)=·Δzk记δ=max{Δsk},(Δsk为)，当n无限增加，且δ→0时，如果不论C的分法及的取法，Sn有唯一极限，那么称这个极限值为函数f(z)沿曲线C的积分。③复变函数的柯西定理（柯西积分定理）由柯西定理可知如果函数f(z)是单连通区域上的解析函数，则有以下性质：⒈若C是D内连接两
7、点z0及z的一条简单曲线，那么沿曲线C的积分的值不依赖于曲线C，而只由z0及z决定。⒉固定z0,而z在D内任意取值，上述积分所确定的函数F（z）在D被解析，且(z)=f(z)⒊若Φ（z）为f(z)在区域D内的原函数，那么Φ（z）-Φ（z0）这里z0,z为D内的点。④复变函数积分的计算⒈定义法，利用黎曼和式的极限来计算；⒉利用复变函数积分与坐标曲线的联系；⒊利用柯西积分定理；⒋利用柯西积分公式；⒌参数方程法实变函数的微积分性质及与复变函数微积分的比较一实变函数导数的定义及性质设函数y=f(x)在x0的某个邻域U（x0）内有定义，当自变量x在x0
8、处取得增量时，相应地函数y取得增量=f(x0+)-f(x0)，如果极限存在，则称函数y=f(z)在点x0处可导。二实变函数微分与导数的关系4复变函数函数y=f(x)
