积分变换(与复变函数联系学习

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1、积分变换第一章付里叶变换第二章拉普拉斯变换§1.1付氏积分§1.2付氏变换§1.3付氏变换的公式和性质§1.4卷积与相关函数§2.1拉普拉斯变换的概念§2.2拉氏变换的基本公式和性质§2.3拉氏逆变换§2.4拉氏变换的应用(一)付氏级数称实系数R上的实值函数f（t）在闭区间[a,b]上满足狄利克莱（DirichLet）条件，如果它满足条件：⑴在[a,b]上或者连续，或者只有有限个第一类间断点；⑵f（t）在[a,b]上只有有限个极值点。§1.1付氏积分第一章付里叶变换从T为周期的周期函数fT(t)，如果在上满足狄利克雷条件，那么在上fT(t)可以展成付氏级数，在fT(t)的连续点处，级数的三角形

2、成为其中称为频率，频率ω对应的周期T与fT(t)的周期相同，因而称为基波频率，nω称为fT(t)的n次谐波频率。(二)付氏级数的复指数形式在fT(t)的间断点t0处，式(1.1.1)的左端代之为即(三)付氏积分任何一个非周期函数f(t)都可以看成由某个周期函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。这个公式称为函数f(t)的付里叶积分公式付氏积分定理若f(t)在(-∞，+∞)上满足下列条件：2°则积分存在,并且在f(t)的连续点处1°在任一有限区间满足狄利克雷条件；而在f(t)的间断点t0处，应以代替该式左端的f(t)。注非周期函数满足付氏积分定理的条件1°，才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级

3、数。满足付氏积分定理的第2°条,才能保证存在。§1.2付氏变换(一)定义1.1.1设f(t)和F(ω)分别是定义在R上的实值和复值函数，称它们是一组付里叶变换对，如果成立并称F(ω)为f(t)的象函数或付里叶变换，记为F[f(t)]；称f(t)为F(ω)的象原函数或付里叶逆变换，记为F-1[F(ω)](二)积分变换的作用(三)δ函数及其付氏变换1.δ函数的定义(1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为δ函数。(2)普通函数序列极限形式的定义其中(3)广义函数形式的定义若f(t)为无穷次可微函数，则3.δ函数在积分变换中的作用(1)有了δ函数，对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样，

4、以统一的方式来对待。(2)尽管δ函数本身没有普通意义下的函数值，但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(-∞,+∞)上的积分都有确定的值。(3)δ函数的付氏变换是广义付氏变换，许多重要的函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的(即不存在)，这些函数的广义付氏变换都可以利用δ函数而得到。这种频谱图称为离散频谱，也称为线状频谱(四)付氏变换的物理意义——频谱1.非正弦的周期函数的频谱(一)常用函数付里叶变换公式§1.3付氏变换的公式和性质(二)欧拉公式及欧拉公式推出的几个公式(三)付氏变换的性质1．线性性质。设F=，F=，和为常数，则b2．

5、位移性质该性质在无线电技术中也称为时移性质。3．对称性质若，则4．相似性质若，则5．象函数的位移性质若，则象函数的位移性质在无线电技术中也称为频移性质。6.翻转性质若，则7.微分性若f在上连续或只有有限个可去间断点,且当时，，则推论若（k=1,2,…,n）在上连续或只有有限个可去间断点，且=0，k=0,1,2,…(n-1),则有8.象函数的微分性质若，则一般地，有若当时，=,则如果，则9.积分性质其中10.象函数的积分性质若，则11.乘积定理若，，则其中，均为t的实函数，、分别为、的共轭函数。12.能量积分若，则该等式又称为巴塞瓦等式。13.卷积定理设满足付氏积分定理中的条件:§1.4卷积与相

6、关函数一、卷积的意义若已知函数f1(t)，f2(t)，则积分称为函数f1(t)与f2(t)的卷积，记为f1(t)*f2(t)，即二、卷积的性质第二章拉普拉斯变换§2.1拉普拉斯变换的概念一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义设函数f(t)当ｔ0时有定义，而且积分（s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此积分决定的函数可写为称为的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或象函数，记为，即又称为的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏逆变换）或象原函数，记即二、拉氏变换的存在定理拉氏变换存在定理设函数f(t)满足下列条件：1°当t＜0时，f(t)=0；2°f(t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是

7、第一类间断点；3°f(t)是指数级函数。则f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)=β＞βc上一定存在，此时上式右端的积分绝对收敛而且一致收敛，同时在此半平面内，F(s)是解析函数。关于拉氏变换存在定理，做如下的几点说明：(1)从物理应用观点来看，条件2°、3°都是容易满足的。实用上所考察的物理过程，往往是用时间函数来描述的，并且是从某一时刻开始，因此可以选这时刻为t=0，在此以前情况则不加考虑。例如