大学电磁场课后答案

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1、习题二2xU2-3已知真空中静电场的电位ϕ(x)=+xV，求电场强度的分布及电荷体密度ρ。ε0d∂ϕ2xU解：E=−∇ϕ=−ex=−(+)exV/m∂xε0d∂Ex22ρ=∇⋅D=−ε0∇⋅E=−ε0=−ε0()=−2C/m∂xε02-4半径为的圆面上均匀带电，电荷面密度为aσ，试求：(1)轴线上离圆心为z处的场强，(2)在保持σ不变的情况下，当a→0和a→∞时结果如何？(3)在保持总电荷不变的情况下，当a→0和a→∞时结果如何?解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为r、厚度为dr的圆环，它所带的电荷量为dq=σ2πrdr。由例题2-5(1)的结果可知该回环在轴线上P点处的场强为zd

2、qσzrdrdqdE==R32ε34πε(r2+z2)20(r2+z2)20z则整个均匀带电圆面在轴线上P点出产生的场强为oσzardrσzEz=∫3=1(−22)a2ε002222ε0a+z(r+z)(2)若σ不变，当a→0时，则σEz=1(−)1=02ε0当a→∞，则σσEz=1(−)0=2ε02ε02q(3)若保持q=πaσ不变，当a→0时，此带电圆面可视为一点电荷。则Ez=24πε0z当a→∞时，σ→0，则Ez=0。2-5已知某空间电场强度E=(zy−2x)ex+zxey+xyez，问：(1)该电场可能是静态电场吗？(2)如果是静电场，求与之对应的电位的分布。2答案（1）是（2

3、）ϕ=x−xyz−αr2-7在半径为a的无限长带电长直圆柱中分布有电荷ρ=ρ0e，其中ρ0、α均为常数。求圆柱内、外的电场强度。ρ01−αr1−αrρ01−αr1−αr答案Ei=(−re−e)erEo=(−ae−e)erε0raaaε0raaa3E0r2-8已知电场强度E=3er0(,≤r

4、域内外，电场强度矢量表达式为a⎧Arr2⎪1(−2)erra⎪2⎩ε0r其中A,B均为常数。求此区域的电荷分布。25r答案ρ=A1(−),r

5、+−D

6、−=−(−)=σ0z=00z=022因此求得D0=σ2，用矢量式表示时为⎧σ⎪ezz>0D=⎨20σ⎪(−ez)z<0⎩2q−αr2-12在无限大真空中，已知电位ϕ=e（式中r为球坐标

7、系中半径坐标），求对应的电场强度4πε0r及电荷分布。2分析r=0处是ϕ(r)的奇异点，在该点应有一个点电荷。在r≠0处，可由ρ=−ε0∇ϕ求得电荷体密度，而位于r=0处的点电荷，则可应用高斯定律求得。解(1)电场强度为∂ϕq−αr⎛1α⎞E=−∇ϕ=−er=e⎜2+⎟er∂r4πε0⎝rr⎠(2)在r≠0处，电荷体密度由球坐标系中散度展开式求得为21∂()2−αq−αrρ=∇⋅D=ε∇⋅E=ε2rEr=er∂r4πr为了确定r=0处的点电荷，作一个半径为r的球面S。由高斯定律可得到球面S内的总电荷Q为2−αrQ=ε0∫E⋅dS=ε0E(r4)πr=q1(+αr)eS该球面S内的体分布

8、电荷的总电荷量Q′为rr−α2q−αξ2−αrQ′=∫ρdV=∫ρ(ξd)ξ=∫e4πξdξ=q1(+αr)e−qV004πξ故r=0处的点电荷q0为q0=Q−Q′=q2说明在给定E或ϕ分布时可应用ρ=ε∇⋅E或ρ=−ε∇ϕ求电荷分布。但应注意：在E或ϕ的奇异点处可能有点电荷，而在E的突变面上，可能有面分布的自由电荷。2-13一个半径为的导体球，要使得它在空气中带点且不放电，试求它所能带点最大电荷量级表面电a6位各是多少？已知空气的击穿场强为3×10V/m。2a−36答案qmax=×10C，ϕmax=3a×10V32-14空气中有一内外半径分别为a和b的带电介质球壳，介质的介电常数为ε

9、，介质内有电荷密度为Aρ=的电荷分布，其中系数A为常数。求总电荷及空间电场强度、电位的分布。若b→a，结果如2r何？A(r−a)A(b−a)答案q=4πA(b−a)E1=2er，E2=2erεrε0r22-15在半径分别为a和b的两个同心导体球壳间有均匀的电荷分布，其电荷体密度ρ=ρ0C/m。已知外球壳接地，内球壳的电位为U0，如例3.3图所示。求两导体球壳间的电场和电位分布。分析在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电荷。由于电荷分布具有