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1、exercise2.4Pythagoreantheorem(毕达哥拉斯定理，即勾股定理)Solution:GGGGGGGGGGGG2
2、
3、A+=+•+=•+•+•BA()BA()BAABBA2BGG22=++•ABAB2GGGG∵AB⊥⇔•=AB0GGGG222∴A⊥⇔+=+BA
4、
5、BABGGGGGGGGA+BGA+BGB(组成一个三角形)A,,BAB+BGGAA1exercise2.10Solution:QPJJJGGGPO(0,2,1)−⇒=P−+2aayzJJJGGGQO(2,0,3)−⇒=
6、Q−2a+3axzOJJJGJJJGJJJGGGGG∴=−=PQOQOP(2−+−a3)(2a−+aa)xzyzGGG=−222aaa++xyz2exercise2.11Solution:GGGGGGGGGGGG∵A=+−32aaaBaaaCaaa,484,765=−−=−−xyzxyzxyzGGG∴+=ABCGCGGGGB(组成一个三角形)A,,BCGGGGGA又∵AB•=0A⊥BGGG∴A,,BC组成一个直角三角形(right-angletriangle)GGCBGA3GGGGGGGGAaa
7、aBaAB=−+32,=2,?×=xyzySolution:GGGGGGGGAB×=(3aa−+×=−2)2aa6a4axyzyzxGGG=−46aa+xzazGayGax4exercise2.28zSolution:GG∵ρρ=a,ρb沿xy平面上半径为b的闭合圆路径，yJJGGdl==bdaφ,02φπ→JJGφdlGGJJGJJGx∴ρρ⊥•dl,0dl=GJJG∴v∫ρ•=dl05zexercise2.29Solution:(1)method1∵在以坐标原点为球心、半径为b的by球面上，
8、GGGJJG2rb==ad,ssbin,θθφddarrxθπ=→0,0φπ=→2GGJJGGππ22∴•=v∫∫rds00∫()(sbabrr•inθθφdda)33ππ2==bd∫∫sinθθdbφπ4006z(2)method2应用(Gauss)DivergenceTheorem：GG∫∫∇•Fdv=F•dsbvsyGGJJG∴•=∇v∫∫rds•rdvv(v是以坐标原点为球心、半径为b的x球的体积)GGGGGrx=ay++aza∇•=r3xyzGJJG433∴•==v∫∫rds33dv⋅
9、=πb4πbv37exercise2.33Solution:第一问：求标量函数f=12x2+yz2在点P(-1,0,1)对距离的最大变化率即是求
10、
11、∇fP22∵f=+12xyz∂∂∂fffGGGGGG2∴∇=fa+a+a=24xa+za+2yzaxyzxyz∂∂∂xyzGG在P点：xyz=−1,=0,=1∴∇=fa
12、2Px−+4ay2∴在P点，标量函数f的梯度的大小为
13、
14、∇=f24+=1577P8第二问：求标量函数f=12x2+yz2在x,y和z方向的变化率即是求f在x,y和z三个方向的方向导数
15、。2∂∂=f/2xxfy4,/∂∂=zfzy,/2∂∂=z9第三问：求f沿从点P(-1,0,1)到点Q(1,1,1)方向的变化率即是求在P点，f沿PQ方向的方向导数。QJJJGGGPPO(1,0,1)−⇒=P−a+axzJJJGGGGQO(1,1,1)⇒=+Qaa+axyzJJJGJJJGJJJGGG∴PQO=−=+QOPaa2xyOJJJGGGGPQ2aaxy+21GG∴沿PQ方向的单位矢量为aa==JJJG=+alxy
16、
17、PQ21255+GG∵∇fa
18、2=−4+aPxy∴在P点，f沿PQ方向
19、的方向导数为：∂fGGG21GG47=∇fa
20、(•=−24)aa+•(a+a)=−Plxyxy∂lP55510exercise2.34Solution:GGGG(1)圆柱坐标系中FFaFaFa=++ρρφφzzG11∂∂F∂F∇•=()+φ+z∵FFρ∂ρ∂∂zρρρφGGGraz=+ρρazrrrρφ=ρ,0==,zzG1∂2∂z∴∇•=r()ρ+=+=213ρρ∂∂zGGGG(2)球坐标系中FFaFaFa=++rrθθφφG11∂∂1∂FFr2FFφ∵∇•=()+(sin)θ+2rθrr∂r
21、sinθ∂∂θθrsinφGGrr=arrrrr=,0θφ==,0rG1∂3∴∇•=rr()3=2rr∂11exercise2.35Solution:GGGG矩坐标系中：FFaFaF=++axxyyzzG∂FF∂F∂xyz∇•F=++∂x∂∂yzGGGG23Fx=−yax+3yzaz+xaxyzG∂∂∂2322∇•Fx=()(−yx+3)()yzz+x=−+y33xz+zx∂∂∂xyz将P点坐标(x=1,y=－1,z=2)代入上式即可12exercise2.47Solution:同轴线coaxi
