1991年全国初中数学联赛试题及解答

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1、1991年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．1．设等式a(x−a)+a(y−a)=x−a−a−y在实数范围内成立，其中a，x，223x+xy−yy是两两不同的实数，则的值是（）22x−xy+y15（A）3；（B）；（C）2；（D）．332.如图，AB‖‖EFCD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（）（A）10；（B）12；（C）16；（D）1823．方程x−x−1=0的解

2、是（）1±5−1±51±5−1±5−1±5（A）；（B）；（C）或；（D）±．22222111−4.已知：x=(1991n−1991n)（n是自然数）．那么(x−1+x2)n，的值是（）2−1−1nn−1（A）1991；（B）−1991；（C）(−)11991；（D）(−)11991．n5.若1×2×3×L×99×100=12M，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（）（A）能被2整除，但不能被3整除；（B）能被3整除，但不能被2整除；（C）能被4整除，但不能被3整除；（D）不能被3整除，也不能被整除．6.若a，c，

3、d是整数，b是正整数，且满足a+b=c，b+c=d，c+d=a，那么a+b+c+d的最大值是（）(A)-1(B)-5(C)0(D)17.如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是S=1，S=3和12S=11S=1，那么，正方形OPQR的边长是（）33S=1S=32（A）2；（B）3；（C）2；（D）3．o8.在锐角ΔABC中，AC=1，AB=c，∠A=60，ΔABC的外接圆半径R≤1，则（）11（A）2；（D）c=2．22二、填空题1．Ｅ是平行四边形ABCD中

4、BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是．22．已知关于x的一元二次方程ax+bx+c=0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为2b+3c－1和4，那么，=．amp(x+)1(x+)13．设m，n，p，q为非负数，且对一切x>0，−1=恒成立，则nqxx22q(m+2n+p)=．oo4．四边形ABCD中，∠ABC=135，∠BCD=120，AB=6，BC=5−3，CD=6，则AD=．o120o135第二试x一、x+y，x－y，

5、xy，四个数中的三个有相同的数值，求出所有具y有这样性质的数对（x,y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF2三、将正方形ABCD分割为n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1991年全国初中数学联赛试题答案第一试一、选择题1．（B）据算术根性质，由右端知y

6、0且a≤0，故a＝0．1由此得x=－y，代入所求式算得值为32．（C）EFBFEFFC由平行截割定理，有=①,=②8010020100EFEFBF+FC①+②，得+==1,5EF=80，EF=16.80201003.（D）设x是方程的解，则-x也是方程的解，排除（A）、（B）；（D）的两值必是00方程的解，否则方程的解也不是（C）．1将1(−)5代入方程，左边≠0，排除（C）．24．（D）221−1+x2=1+(1991n−2+1991n)4211⎡1−⎤=(1991n+1991n)，⎢⎥⎣2⎦1−nnn−1所以　　原式=（−199

7、1)=(−)11991．5．（A）在1×2×3×…×100的质因数分解中，2的因子有974848所以，1×2×3×L×100=2×3×P=12×2P，其中2不整除P，3不整除P，因而M=2P．6.（B）(a+b)+(c+d)=c+a，∴b=-d．代入b+c=d得c=2d，a=c+d=3d，故a+b+c+d=2d+3d=5d=-5b≤-5(∵b≥1)．故a=-3，b=1，c=-2，d=-1．7．（C）设正方形OPRQ的边长为x，即OP=PQ=Q=OR=x．作ΔABC的高AD，交OR于F，在ΔAOR中，2S12AF==．如图．ORx同理

8、可得故2另一方面　，S=S+S+S+S=5+x．ABC123OPRQ121624所以　　　　(x+10+)=5+x，x=16，x=2．22x8．（A）作CD⊥AB，因ΔABC是锐角三角形，故D在AB内，从而1c=AB＞AD=ACcos