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《1993年全国初中数学联赛试题及解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1993年全国初中数学联合竞赛试题第一试一.选择题12621.多项式x−x+1除以x−1的余式是（）(A)1;(B)-1;(C)x−1;(D)x+1;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是（）(A)Ⅰ,Ⅱ都对(B)Ⅰ对,Ⅱ错(C)Ⅰ错,Ⅱ对.(D)Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x是实数,y=x−1+x+1.下列四个结论:Ⅰ.y没有最小值;Ⅱ.只有一个x使y取到最小值;Ⅲ.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x使y取到最小值.其中正确的是（）(A)Ⅰ(B)Ⅱ(C)Ⅲ(D)Ⅳ4.实数x,x,x,x
2、,x满足方程组12345⎧x1+x2+x3=a1;⎪x+x+x=a;⎪2342⎪⎨x3+x4+x5=a3;⎪x+x+x=a;⎪4514⎪x+x+x=a.⎩5125其中a,a,a,a,a是实常数,且a>a>a>a>a,则x,x,x,x,x的大123451234512345小顺序是（）(A)x>x>x>x>x;(B)x>x>x>x>x;1234542135(C)x>x>x>x>x;(D)x>x>x>x>x.314255314225.不等式x−1<(x−)1<3x+7的整数解的个数（）(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于56.在ΔABC中,∠A是钝角,O是垂心,AO
3、=BC,则cos(∠OBC+∠OCB)的值是()2231(A)−(B)(C)(D)−.22227.锐角三角ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别为m,n,p,那么m:n:p等于()111(A)::;(B)a:b:cabc(C)cosA:cosB:cosC(D)sinA:sinB:sinC.3421−18.(33−3+3)可以化简成()999333333(A)(32+)1;(B)(32−)1(C)2−1(D)2+1二.填空题23x+6x+51.当x变化时,分式的最小值是___________.12x+x+122.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最
4、左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.223.若方程(x−1)(x−)4=k有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k=____________.4.锐角三角形ABC中,∠A=30°.以BC边为直径作圆,与AB,AC分别交于D,E,连接DE,把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1,S2,则S1:S2=___________.第二试一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积S⋅S的值变小,变大,还是不变?证明你
5、的结论.ΔABCΔHBC二.ΔABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在边AB,AC上分别取点D,E,使线段DE将ΔABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.22三.已知方程x+bx+c=0及x+cx+b=0分别各有两个整数根x,x及x′,x′,1212且xx>,0x′x′>0.1212(1)求证:x<,0x<,0x′<,0x′<;01212(2)求证:b−1≤≤cb+1;(3)求b,c所有可能的值.1993年全国初中数学联赛试题答案一．选择题1．（A）12666∵x−x+1=x(x−)1+1，∴余式为1.2．（B）命题I正确，证明如下：如图，ABC
6、DE为圆内接五边形，各内角相等.由∠A=∠B，BCE=CEA，于是BC=EA.∴BC=EA.同理可证BC=DE=AB=CD=EA.故ABCDE是正五边形.命题II不正确，反例如下：如图，ABCD为圆内接矩形，∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD，BC=DA，但AB≠BC，显然，ABCD满足命题II条件，但不是正四边形.3．（D）因为x−1、x=1分别表示数轴上点x到点1和点-1的距离.因此，当-1≤x≤1时，y=x−1+x+1=2；当x<−1时，y=x−1+x+1=2+2x+1>2；当x>1时，y=x−1+x+1=2+2x−1>2.而在-1与1之间无穷多个实数x，
7、故有无穷多个x使y取到最小值.4．（C）给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得x−x=a−a，x−x=a−a，x−x=a−a，x−x=a−a，1412252331344245∵a>a>a>a>a，12345∴x>x，x>x，x>x，x>x.14253142于是有x>x>x>x>x.314255．（A）(x−2)(x−)1>,02注意到x−1<(x−)1<3x+7⇔(x+1)(x−)6<.0(x−2)(x−)1>0⇔x<1或x>2.(x+1)(x−)6<0⇔−1
