2003年全国初中数学联赛试题及解答

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1、2003年全国初中数学联合竞赛试卷第一试（4月13日上午8:30—9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.2322−+−17122等于（）A.542−B.421−C.5D.12.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A.0B.1C.3D.53.若函数yk=>xk(0)与函数y=1的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则x△ABC的面积为（）2A.1B.2C.kD.k4.满足等式xy+−xy2003x−2003y+2003xy=2003的正整数对(x，y)的个数（）A.1B.2C.3D.45.设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且AD=1．若在边

2、AC上取一点E，AB3使四边形DECB的面积为3，则CE的值为（）4EAA.1B.1C.1D.1DC23456.如图，在□ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，E且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为（）ABA.3B.4C.15D.1645二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.抛物线2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角ya=++xbxc三角形，则ac=__________．2932.设m是整数，且方程32xm+x−=0的两根都大于−而小于，则57B'Cm=____________．AEBD3.如图，AA'，BB'分别是∠EAB，∠D

3、BC的平分线．若AAB''==BAB，则∠BAC的度数为_____________．A'4.已知正整数a，b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a，b中较大的数是_________．第二试（A）一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．二、（本题满分25分）在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．设线段PA，PB的中点分别为M，N．求证：⑴△DEM≌△DFN；⑵∠PAE=∠PBF．三、（本题满分25分）

4、已知实数a，b，c，d互不相等，且abcd+1111=+=+=+=x，bcda试求x的值．第二试（B）一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．二、（本题满分25分）在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于P．求证：∠PAE=∠PBF．三、（本题满分25分）已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16．⑴这样的四边形有几个？⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．第二试（C）一、（本题满分20分）已

5、知实数a，b，c，d互不相等，且abcd+1111=+=+=+=x，bcda试求x的值．二、（本题满分25分）在△ABC中，D为AB的中点，分别延长AC，BC到点E，F，使DE=DF；过E，F分别作AC，BC的垂线，相交于P．求证：∠PAE=∠PBF．三、（本题满分25分）已知四边形ABCD的面积为32，AB，CD，AC的长都是整数，且它们的和为16．⑴这样的四边形有几个？⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．2003年全国初中数学联赛试卷答案第一试一、选择题1、(D)；2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360º，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过

6、3个。3、(A)；11设A(x,y)，则xy=1，故Sx=y=。又因为△ABO与△CBO同底等高，ΔABO22因此，SS=×21=ΔΔABCABO4、(B)；由已知等式可得(xy−+2003)(xy+2003)=0而xy++2003>0，所以，xy−2003=0。故xy=2003⎧x=1⎧x=2003又因为2003为质数，必有⎨或⎨⎩y=2003⎩y=15、(B)；AD31CE如图，连结BE，S=1−=，设=x，则ΔADEE44ACBC11−x1CE1Sx=−1。Sx===,。故=ΔABEΔADE344EA36、(D)；D如图，连结AC、CE。C由AE∥BC，知四边形ABC

7、E是等腰梯形。故AC＝BE＝5。E又因为DC∥AB，DC与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝AB∠ABC。则AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝422DC16因为DCA=⋅DDE，故DE==AD5二、填空题1、－1；c设A(,0),(,0)xBx。由△ABC是直角三角形可知x,x必异号。则xx=<0121212a22c由射影定理知OC=⋅AOBO，即cxx=⋅=；故ac=1,ac=−112a2、4；2⎧⎛⎞99⎛⎞⎪32×⎜⎟−+×m⎜⎟−−>0⎪⎝⎠55⎝⎠813由题设可知，⎨,解得34<