北京市朝阳区2015届高三上学期期末考试数学理试题

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1、北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷(理工类)2015.1(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设为虚数单位,则复数在复平面内对应的点所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点.若中点到抛物线准线的距离为6,则线段的长为A.B.C.D.无法确定3.设函数的图象为,下面结论中正确的是A.函数的最小正周期是B.图象关于点对称C

2、.图象可由函数的图象向右平移个单位得到D.函数在区间上是增函数4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的全面积是A.B.C.D.5.表示不重合的两个平面,,表示不重合的两条直线.若,,,则“∥”是“∥且∥”的A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在中,,则的最大值是A.B.C.D.7.点在的内部,且满足,则的面积与的面积之比是A.B.3C.D.28.设连续正整数的集合,若是的子集且满足条件:当时,,则集合中元素的个数最多是()A.B.C.D.第二部分(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.角的顶点

3、在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值是.10.双曲线()的离心率是;渐近线方程是.11.设不等式组表示平面区域为,在区域内随机取一点,则点落在圆内的概率为.12.有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时,1点响1声,2点响2声,3点响3声,……,12点响12声(12时制),且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒.在一次大钟报时时,某人从第一声铃响开始计时,如果此次是12点的报时,则此人至少需等待秒才能确定时间;如果此次是11点的报时,则此人至少需等待秒才能确定时间.13.在锐角的边上有异于顶点的6个点,边上有异于顶点的4个点,加上点,以这11个点为顶点共可以组成个三角形(

4、用数字作答).14.已知函数.下列命题:①函数既有最大值又有最小值;②函数的图象是轴对称图形;③函数在区间上共有7个零点;④函数在区间上单调递增.其中真命题是.(填写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成,从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查,并按年龄层次[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]绘制频率分布直方图,如图

5、所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”,[40,60)为“中年人”,[60,80]为“老年人”.203040506080700.010.030.02年龄(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的600人的平均年龄;(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率.从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人,记抽到“老年人”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面底面,,点是的中点,点在边上移动.(Ⅰ)若为中点,求证://平面;(Ⅱ)求证:;DPCBFAE(Ⅲ)若,二面角的余弦

6、值等于,试判断点在边上的位置,并说明理由.17.(本小题满分13分)若有穷数列,,(是正整数)满足条件:,则称其为“对称数列”.例如,和都是“对称数列”.(Ⅰ)若是25项的“对称数列”,且,是首项为1,公比为2的等比数列.求的所有项和;(Ⅱ)若是50项的“对称数列”,且,是首项为1,公差为2的等差数列.求的前项和,.18.(本小题满分13分)设函数.(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;(Ⅱ)设为的导函数,当时,函数的图象总在的图象的上方,求的取值范围.19.(本小题满分14分)已知椭圆过点,离心率为.过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)直线是否过定点?若

7、过定点,求出点的坐标;若不过,请说明理由.20.(本小题满分13分)已知函数,,,,且.(Ⅰ)当,,时,若方程恰存在两个相等的实数根,求实数的值;(Ⅱ)求证:方程有两个不相等的实数根;(Ⅲ)若方程的两个实数根是,试比较与的大小并说明理由.北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案(理工类)2015.1一、选择题(满分40分)题号12345678答案DCBACDAC二、

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