北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题_word版含答案_(1)

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1、北京市朝阳区2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题(理工类)2013.1(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数等于A.B.C.D.开始结束输入x是否输出k2.“”是“直线与圆相交”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图.若输入,则输

2、出的值是A.B.C.D.4.已知双曲线的中心在原点,一个焦点为,点P在双曲线上,且线段PF1的中点坐标为,则此双曲线的方程是A.B.1正视图正视图俯视图C.D.5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有A.140种B.120种C.35种D.34种[6.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为A.B.C.D.7.设集合,集合.若中恰含有一个整数,则实数的取值范围是A.B.C.D.8.在棱长为1的正方体中,点,分别是线段,(不包括

3、端点)上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是A.B.C.D.第二部分(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.9.已知数列是等差数列,数列是等比数列,则的值为.10.如图,,是半径为的圆的两条弦,它们相交于的中点.若,,则=,(用表示).11.若关于,的不等式组(是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则.12.在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为.13.在直角三角形中,,,点是斜边上的一个三等分点,则.14.将整数填入如图所示的行列的

4、表格中,使每一行的数字从左到右都成递增数列,则第三列各数之和的最小值为,最大值为.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期及单调递减区间;(Ⅱ)求函数在上的最小值.16.(本小题满分14分)在长方体中,,点在棱上,且.A1B1ECBD1C1AD(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)在棱上是否存在点,使∥平面?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由;(Ⅲ)若二面角的余弦值为,求棱的长.17.(本小题满分13分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”,

5、全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:组距频率成绩(分)频率分布直方图0.040x▓0.008▓5060807090100y频率分布表组别分组频数频率第1组[50,60)80.16第2组[60,70)a▓第3组[70,80)200.40第4组[80,90)▓0.08第5组[90,100]2b合计▓▓(Ⅰ)写出的值;(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含

6、80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的2名同学来自同一组的概率;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数,求的分布列及其数学期望.18.(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)设函数.若至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围.19.(本小题满分14分)已知点是椭圆的左顶点,直线与椭圆相交于两点,与轴相交于点.且当时,△的面积为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线,与直线分别交于,两点,试判断以为直径的圆是否经过点?

7、并请说明理由.20.(本小题满分13分)将正整数()任意排成行列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数()的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.(Ⅰ)当时,试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”;(Ⅱ)若表示某个行列数表中第行第列的数(,),且满足请分别写出时数表的“特征值”,并由此归纳此类数表的“特征值”(不必证明);(Ⅲ)对于由正整数排成的行列的任意数表,记其“特征值”为,求证:.北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案(理工类)2013.1一、选择题

8、:题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)答案AACBDCBA二、填空题:题号(9)(10)(11)(12)(13)(14)答案;或;(注:两空的填空,第一空3分,第一空2分)三、解答题:(15)(本小题满分13分)解:(Ⅰ)………………………………

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