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《北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题一、选择题（共8小题；共40分）1.已知i是虚数单位，若复数1+ai2+i是纯虚数，则实数a等于______A.2B.12C.−12D.−22.“k=1”是“直线x−y+k=0与圆x2+y2=1相交”的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图．若输入x=3，则输出k的值是______A.3B.4C.5D.64.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1−5,0，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为0,2，则此双曲线的方程是______A.x24−y2=1B.x2−y24
2、=1C.x22−y23=1D.x23−y22=15.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有______A.140种B.120种C.35种D.34种6.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为______第10页（共10页）A.1B.34C.32D.347.设集合A=xx2+2x−3>0，集合B=xx2−2ax−1≤0,a>0．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是______A.0,34B.34,43C.34,+∞D.1,+∞8.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点
3、P1，P2分别是线段AB，BD1（不包括端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是______A.124B.112C.16D.12二、填空题（共6小题；共30分）9.已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则b2a1+a2的值为______．10.如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P．若PD=2a3，∠OAP=30∘，则AB=______，CP=______（用a表示）．11.若关于x，y的不等式组x≥0,y≥x,kx−y+1≥0（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角
4、形，则k=______．12.在极坐标系中，过圆ρ=4cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为______．13.在直角三角形ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则CP⋅CB+CP⋅CA=______．第10页（共10页）14.将整数1，2，3，⋯，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为______，最大值为______．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=sinx2cosx2+cos2x2−1．（1）求函数fx的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数fx在π4,3π2
5、上的最小值．16.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2，点E在棱CD上，且CE=13CD．（1）求证：AD1⊥平面A1B1D；（2）在棱AA1上是否存在点P，使DP∥平面B1AE?若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由；（3）若二面角A−B1E−A1的余弦值为306，求棱AB的长．17.某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：第10页（共10页）（1）写出a，b，x，
6、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；（3）在（2）的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．18.已知函数fx=ax−1x−2lnxa∈R．（1）若a=2，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；（2）求函数fx的单调区间；（3）设函数gx=−ax．若至少存在一个x0∈1,e，使得fx0>gx0成立，求实数a的取值范围．19.已知点A是椭圆C:x29+y2t=1t>0的左顶点，直线l:x=my+1m∈R与椭圆C相交于E，F两点，与x轴
7、相交于点B．且当m=0时，△AEF的面积为163．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AE，AF与直线x=3分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过点B?并请说明理由．20.将正整数1,2,3,4,⋯,n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a,b（a>b）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．（1）当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能
