江苏省如东县马塘中学2016届高三自主练习四数学试题（教师版）

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1、www.ks5u.com2016届马塘中学高三数学自主练习四一.填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分；请把答案写在答题卡相应位置.）1. 已知集合A＝{1,2,3,4}，那么A的非空真子集的个数是14．2.若“x2>1”是“x

2、域是，则实数的取值范围是____0≤m＜48.在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．9．已知函数，则的极大值为．10.已知函数在区间上是单调递增，则实数a的取值范围为11．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f(－4)，f()，f(－)的大小关系为_______(用“<”连接)．答案　f()

3、函数，∴f()7时f(x)＝无交点，因而原方程有6个解．14．若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为________．解析：因为点(1，0)，(－1，0)在f(x)的图象上，且图象关于直线x＝－2对称，所以点(－5，0)

4、，(－3，0)必在f(x)的图象上，所以f(－5)＝(1－25)(25－5a＋b)＝0，f(－3)＝(1－9)(9－3a＋b)＝0，联立，解得a＝8，b＝15，所以f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，即f(x)＝－(x＋1)(x－1)(x＋3)(x＋5)＝－(x2＋4x＋3)(x2＋4x－5)．令t＝x2＋4x＝(x＋2)2－4≥－4，则f(x)＝－(t＋3)(t－5)＝－(t－1)2＋16，当t＝1时，f(x)max＝16．二．解答题.（本大题共6小题，共90分；请把答案写在答题卡相应位置.）15.（本题满分14分）已知函数。（1）求的最大值及取得最大值时的的值；（2）求在上的单

5、调增区间。(1)，当，即时，的最大值为.(2)由，即，又因为，所以所求的增区间为.16.（本题满分14分）已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值是，求实数的值．解：(1）．．（2）．，．①当时，在时取得最小值，不合题意．②当时，最小值为，令，解得（负值舍去）．③当时，在时取得最小值为，令，解得，与条件不合，舍去．因此，的值为．17．（本题满分14分）已知函数．⑴试判断函数的单调性和奇偶性,并证明；⑵若函数在上的最大值为，求实数的值；⑶若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：⑴函数的定义域为．设，则．∵，∴，由指数函数的性质得；又，，∴，即．故函数在上单调递减；，即．故函数

6、是奇函数．⑵由⑴知函数在上单调递减，∴，即．解得，∵，∴．⑶．由⑴知函数是奇函数，且在上单调递减，∴，即．令，则由题意得在上恒小于，也是有．故的取值范围是．18、（本题满分16分）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（第18题图）24（I）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（II）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不

7、能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．（图1）解建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为，由已知点在抛物线上，得，所以抛物线的方程为.（I）为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图1，设点，则此时梯形APQB的面积，∴,令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，(图2)所以当时，有最大值，改挖后的水渠的底宽