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《2013-2014学年人教a版数学(文)选修2-1知能演练2.1.2第1课时 椭圆的简单几何性质 word版含解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、1.(2011·高考课标全国卷)椭圆+=1的离心率为( )A.B.C.D.解析:选D.由+=1得a2=16,b2=8,c2=a2-b2=8,∴c=2.∴e===.2.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于( )A.B.2C.4D.解析:选D.由已知得2=2×2,∴m=.3.曲线+=1与曲线+=1(k<9)的( )A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析:选D.由题意可知两个椭圆的焦点都在x轴上,前者焦距2c=2=8,后者焦距2c=2=8.4.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18
2、,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:选B.由已知设椭圆方程为+=1(a>b>0),则,解得,故椭圆的标准方程为+=1.5.已知椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且BF⊥x轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是( )A.B.C.D.解析:选D.如图,因为=2,则OA=2OF,∴a=2c,∴e=.6.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是________.解析:由6x2+y2=6,得x2+=1.故a=.∴长轴的端点为(0,-
3、)和(0,).答案:(0,-)、(0,)7.椭圆焦点在x轴上,O为坐标原点,A是一个顶点,F是一个焦点,椭圆长轴长为6,且cos∠OFA=,椭圆的标准方程是________.解析:如图,∵椭圆长轴长为6,∴
4、AF
5、=3,∴cos∠OFA===,∴c=2,∴b2=a2-c2=5.∴椭圆的标准方程为+=1.答案:+=18.若椭圆的短轴长为6,焦点到长轴的一个端点的最近距离是1,则椭圆的离心率为________.解析:依题意,得b=3,a-c=1.又a2=b2+c2,解得a=5,c=4,∴椭圆的离心率为e==.答案:9.求椭圆4x2+9y2=1的
6、长轴长和焦距,焦点坐标,顶点坐标和离心率.解:将椭圆方程变形为+=1.∴a=,b=,∴c==.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a=1,2c=.焦点坐标为F1,F2.顶点坐标为A1,A2.B1,B2.离心率e==.10.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆过(3,0),离心率e=;(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8.解:(1)若焦点在x轴上,则a=3,∵e==,∴c=,∴b2=a2-c2=9-6=3.∴椭圆的标准方程为+=1.若焦点在y轴上,则b=3,∵e====,解得a2=27.∴椭圆的标准方程为+=1.综上
7、可知,所求椭圆标准方程为+=1或+=1.(2)设椭圆方程为+=1(a>b>0).如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且
8、OF
9、=c,
10、A1A2
11、=2b,∴c=b=4,∴a2=b2+c2=32,故所求椭圆的标准方程为+=1.1.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )A.2B.3C.6D.8解析:选C.由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,所以y=3(1-)(-2≤x0≤2),因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0
12、+1)+y=+x0+3=(x0+2)2+2.因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值为6.2.椭圆+=1的焦点在x轴上,则它的离心率e的取值范围是________.解析:由题意知5a>4a2+1,∴0)的离心率为,试求椭圆的长轴长和短轴长,焦点坐标及顶点坐标.解:椭圆方程可化为+=1.(1)当013、,F2(1,0),顶点坐标为A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-),B2(0,).(2)当m>4时,a=,b=2,∴c=,∴e===,解得m=,∴a=,c=,∴椭圆的长轴长和短轴长分别为,4,焦点坐标为F1(0,-),F2(0,),顶点坐标为A1(0,-),A2(0,),B1(-2,0),B2(2,0).4.设P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是其左、右焦点.已知∠F1PF2=60°,求椭圆离心率的取值范围.解:法一:根据椭圆的定义,有14、PF115、+16、PF217、=2a,①在△F1PF2中,由余弦定理得cos60°==,即18、19、PF120、2+21、PF222、2-4c2=23、PF124、25、PF226、.②①式平方得27、PF128、2+29、PF230、2+231、PF132、33、PF234、=4a2.③由②③得35、PF136、37、PF238、=.④由①和④运用
13、,F2(1,0),顶点坐标为A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-),B2(0,).(2)当m>4时,a=,b=2,∴c=,∴e===,解得m=,∴a=,c=,∴椭圆的长轴长和短轴长分别为,4,焦点坐标为F1(0,-),F2(0,),顶点坐标为A1(0,-),A2(0,),B1(-2,0),B2(2,0).4.设P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2是其左、右焦点.已知∠F1PF2=60°,求椭圆离心率的取值范围.解:法一:根据椭圆的定义,有
14、PF1
15、+
16、PF2
17、=2a,①在△F1PF2中,由余弦定理得cos60°==,即
18、
19、PF1
20、2+
21、PF2
22、2-4c2=
23、PF1
24、
25、PF2
26、.②①式平方得
27、PF1
28、2+
29、PF2
30、2+2
31、PF1
32、
33、PF2
34、=4a2.③由②③得
35、PF1
36、
37、PF2
38、=.④由①和④运用
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