运用对称性巧解积分题

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1、运用对称性巧解积分题周焕发（渭南师范学院数学系陕西渭南）摘要本文从六个方面分析了积分中的对称性，并结合事例说明了对称性在积分解题中的妙用。关键词对称性奇偶性函数积分互补变换数学中的许多问题，初看起来似乎很难解决，而一旦恰当地利用了某种对称性，就会易如反掌，下面介绍如何充分有效地利用对称性巧解积分题。1.利用积分区间的对称性设在上可积，利用积分区间关于原点对称以及被积函数的奇偶性，简化定积分的计算，可用公式（1）例1计算解因积分区间关于原点对称，依公式（1）2.利用函数图像的对称性利用积分中函数图像的对称性可简捷明快地解决积分问题。例2求有曲面所围成立体的体积。解设所围

2、立体的体积为，则,所围成。7要画出的图像再来确定积分限是很困难的，因此可讨论的对称性。因时，也有，，故关于坐标平面，对称。又因，所以只需求出立体在第卦限的体积，这时例3求从轴正向看去为反时针方向。解因关于坐标平面对称，故于是1.利用轮换对称性若把第一变量换成第二变量，第二变量换成第三变量，依次类推，最后一个变量换成第一个变量，这样得到的函数与原函数相同，则称该函数具有轮换对称性，在积分问题中，根据函数轮换对称的特点，可由局部的一个结论，迅速得到其它相似结论将大大缩减繁琐的计算或证明过程。黎曼积分轮换对称性是指：第一，被积函数具有轮换对称性；第二，积分区域具有轮换对称性

3、。下面我们通过例子来说明轮换对称性在简化积分运算中的作用。例4计算第一类曲线积分，，，其中为椭圆与平面相交的圆周。解法一（一般方法）先求曲线的参数方程由方程组（1）7消去得或（2）旋转坐标轴即方程（2）化为设得到所求圆周参数方程于是所以同理可得解法二先求曲线的半径。因为原点到平面的距离为，所以圆周曲线的半径为7，有轮换对称性，，所以，例5计算三重积分，是由平面及三个坐标面所围之区域。解因为积分区域关于均对称，故，于是例6计算第二类曲线积分，其中为球面与平面的交线，从轴正看圆周逆时针方向。解由斯托克斯公式其中为所围成的大圆，的侧与的方向满足右手法则，有轮换对称性所以例7

4、求，解将椭球变为球：这意味着分别以，，代，，，得7由轮换对称性可得出所以1.抓住特点，构造对称关系有些积分问题原来并不具有对称性，在求解过程中，如果我们善于观察问题的特点，通过适当的换元，拆项等构造对称关系，就可找到问题的突破口，从而快速解答。例8求解令，则原式例9设在上连续，且，证明证作闭正方形域，则关于直线对称，于是7所以1.利用互补对称性设在上可积，当时，利用互补变换，得到等式（2）在应用公式（2）时，我们希望函数比简单易积分，特别当时，说明在区间上，横坐标关于的任意两个对称点与，相应的函数值关于也对称，这种对称性可称为互补的对称性，这时例10求7解令，则而所以

5、1.利用对称性的某些推广设在任何有限区间上可积，且，利用变换，可得公式（3）这时，由及公式（3）得（4）若，则依（4）有此时可以说在上关于有某种对称性；若，则依（4）有，可称关于“反对称”。因可积，故变限积分函数连续，由（4）式得即（5）例11证明7证因为具有无限区间和无界函数的两类广义积分，所以必须分成单一类型的广义积分。由于由极限形式的柯西判别法知，广义积分与都收敛，从而广义积分收敛。这时，由于，故由公式（5）得以上数例用传统的解法比较繁琐或难以解答，但由于巧妙地运用某种对称性而一举成功。参考文献[1]华东师范大学数学系数学分析北京高等教育出版社，[2]王寿生等编

6、所高校研究生高等数学入学试题选解及分析沈阳辽宁科技出版社，7