第21讲三角函数的图象和性质

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1、2013年高考第一轮复习资料—理科数学第21讲三角函数的图象和性质【考点解读】1．会用“五点法”作正弦、余弦函数的图象，会用“七点法”作正切函数的图象；2．掌握三角函数的性质：奇偶性，单调性和周期性；3．了解三角函数的对称中心和对称轴；4．会求三角函数的定义域和值域。【知识扫描】1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象；“五点法”作图实质上是选取函数的一个，将其四等分，分别找到图象的点，点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．2．三角函数的图像与性质图象：性质：定义域值域奇偶性有界性周期性单调性最大(小)值3．函数y＝sinx的对称性

2、与周期性的关系．⑴若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b，则T＝．⑵若相邻两对称点(a，0)和(b，0)，则T＝．⑶若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x＝b，则T＝．【考计点拨】牛刀小试：1．函数f(x)＝tan(x＋)的单调增区间为(　　)A．(kπ－，kπ＋)，k∈ZB．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z72013年高考第一轮复习资料—理科数学C．(kπ－，kπ＋)，k∈ZD．(kπ－，kπ＋)，k∈Z解析：选C.由kπ－

3、)A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间[0，]上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数解析：选D.∵y＝sin(x－)＝－cosx，∴T＝2π，A正确；y＝cosx在[0，]上是减函数，y＝－cosx在[0，]上是增函数，B正确；由图象知y＝－cosx关于直线x＝0对称，C正确．y＝－cosx是偶函数，D错误．3．若函数y＝2cos(2x＋φ)是偶函数，且在(0，)上是增函数，则实数φ可能是(　　)A．－B．0C.D．π解析：选D.依次代入检验知，当φ＝π时，函数y＝2cos(2x＋π)＝－

4、2cos2x，此时函数是偶函数且在(0，)上是增函数．4．函数y＝sin(－x)的单调递增区间为________．解析：由y＝sin(－x)得y＝－sin(x－)，由＋2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，得π＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z，故函数的单调增区间为[π＋3kπ，＋3kπ](k∈Z)．答案：[π＋3kπ，＋3kπ](k∈Z)5．已知向量，，求函数的表达式解析：∴，72013年高考第一轮复习资料—理科数学考点一：辅助角公式及其应用例1.已知函数．]（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别为且，，若，求的值．【解析】解：，

5、则的最小值是，最小正周期是；，则，，，，，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，由解得．变式练习：已知向量，其中，函数的最小正周期为，最大值为3。（1）求和常数的值；（2）求函数的单调递增区间。解析：（1），，由，得。又当时，得.（2）由（1）当，即，故的单调增区间为，。变式训练：已知函数；（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取得最大值的x的集合．解：(1)72013年高考第一轮复习资料—理科数学＝＝∴(2)当f(x)取最大值时，sin(2x－)＝1有2x－＝2k＋即x＝k＋(k∈z)故所求x的集合为规律小结：本题是考查三角函

6、数性质的基础题，要求熟练掌握倍角公式，两角和与差的三角公式，以及周期的概念，掌握正弦曲线的单调区间。辅助角公式最重要，是常考内容。考点二：三角函数的性质例2已知函数f(x)＝⑴求f(x)的定义域．⑵用定义判断f(x)的奇偶性．⑶在[－π，π]上作出函数f(x)的图象．⑷指出f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由1＋cos2x＞0得2cos2x＞0∴cosx≠0即x≠kπ＋，(k∈z)∴函数f(x)的定义域为{x｜x≠kπ＋，k∈z｜}(2)∵定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x，f(－x)＝∴f(x)为奇函数.xy0π-π(3)f

7、(x)＝又x∈[－π，π]且x≠－∴f(x)＝f(x)的图象如右：(4)由图知，f(x)的最小正周期为2π．f(x)的单调递增区间是()(k∈z)变式训练2：求下列函数的定义域：72013年高考第一轮复习资料—理科数学（1）y=lgsin(cosx);（2）y=.解（1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0.∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.方法一利用余弦函数的简图得知定义域为{x

8、-+2k＜x＜+2k,k∈Z}.方法二利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1,∴OM只能在x轴的正半轴上，∴其定义域为.（2）要使函数有意义

9、，必须使sinx-cosx≥0.方法一利用图象.在同一坐标系中画出［0,2］上y=sinx和y=cosx的图象，如图所示.在［0，2］内，满足sinx