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时间:2018-04-17
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1、2013年高考第一轮复习资料—理科数学第21讲三角函数的图象和性质【考点解读】1.会用“五点法”作正弦、余弦函数的图象,会用“七点法”作正切函数的图象;2.掌握三角函数的性质:奇偶性,单调性和周期性;3.了解三角函数的对称中心和对称轴;4.会求三角函数的定义域和值域。【知识扫描】1.用“五点法”作正弦、余弦函数的图象;“五点法”作图实质上是选取函数的一个,将其四等分,分别找到图象的点,点及“平衡点”.由这五个点大致确定函数的位置与形状.2.三角函数的图像与性质图象:性质:定义域值域奇偶性有界性周期性单调性最大(小)值3.函数y=sinx的对称性
2、与周期性的关系.⑴若相邻两条对称轴为x=a和x=b,则T=.⑵若相邻两对称点(a,0)和(b,0),则T=.⑶若有一个对称点(a,0)和它相邻的一条对称轴x=b,则T=.【考计点拨】牛刀小试:1.函数f(x)=tan(x+)的单调增区间为( )A.(kπ-,kπ+),k∈ZB.(kπ,(k+1)π),k∈Z72013年高考第一轮复习资料—理科数学C.(kπ-,kπ+),k∈ZD.(kπ-,kπ+),k∈Z解析:选C.由kπ-3、)A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间[0,]上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数解析:选D.∵y=sin(x-)=-cosx,∴T=2π,A正确;y=cosx在[0,]上是减函数,y=-cosx在[0,]上是增函数,B正确;由图象知y=-cosx关于直线x=0对称,C正确.y=-cosx是偶函数,D错误.3.若函数y=2cos(2x+φ)是偶函数,且在(0,)上是增函数,则实数φ可能是( )A.-B.0C.D.π解析:选D.依次代入检验知,当φ=π时,函数y=2cos(2x+π)=-4、2cos2x,此时函数是偶函数且在(0,)上是增函数.4.函数y=sin(-x)的单调递增区间为________.解析:由y=sin(-x)得y=-sin(x-),由+2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,得π+3kπ≤x≤+3kπ,k∈Z,故函数的单调增区间为[π+3kπ,+3kπ](k∈Z).答案:[π+3kπ,+3kπ](k∈Z)5.已知向量,,求函数的表达式解析:∴,72013年高考第一轮复习资料—理科数学考点一:辅助角公式及其应用例1.已知函数.](1)求函数的最小值和最小正周期;(2)设的内角的对边分别为且,,若,求的值.【解析】解:,5、则的最小值是,最小正周期是;,则,,,,,由正弦定理,得,由余弦定理,得,即,由解得.变式练习:已知向量,其中,函数的最小正周期为,最大值为3。(1)求和常数的值;(2)求函数的单调递增区间。解析:(1),,由,得。又当时,得.(2)由(1)当,即,故的单调增区间为,。变式训练:已知函数;(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解:(1)72013年高考第一轮复习资料—理科数学==∴(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1有2x-=2k+即x=k+(k∈z)故所求x的集合为规律小结:本题是考查三角函6、数性质的基础题,要求熟练掌握倍角公式,两角和与差的三角公式,以及周期的概念,掌握正弦曲线的单调区间。辅助角公式最重要,是常考内容。考点二:三角函数的性质例2已知函数f(x)=⑴求f(x)的定义域.⑵用定义判断f(x)的奇偶性.⑶在[-π,π]上作出函数f(x)的图象.⑷指出f(x)的最小正周期及单调递增区间.解:(1)由1+cos2x>0得2cos2x>0∴cosx≠0即x≠kπ+,(k∈z)∴函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ+,k∈z|}(2)∵定义域关于原点对称,且对任意的定义域中x,f(-x)=∴f(x)为奇函数.xy0π-π(3)f7、(x)=又x∈[-π,π]且x≠-∴f(x)=f(x)的图象如右:(4)由图知,f(x)的最小正周期为2π.f(x)的单调递增区间是()(k∈z)变式训练2:求下列函数的定义域:72013年高考第一轮复习资料—理科数学(1)y=lgsin(cosx);(2)y=.解(1)要使函数有意义,必须使sin(cosx)>0.∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1.方法一利用余弦函数的简图得知定义域为{x8、-+2k<x<+2k,k∈Z}.方法二利用单位圆中的余弦线OM,依题意知0<OM≤1,∴OM只能在x轴的正半轴上,∴其定义域为.(2)要使函数有意义9、,必须使sinx-cosx≥0.方法一利用图象.在同一坐标系中画出[0,2]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.在[0,2]内,满足sinx
3、)A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)在区间[0,]上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称D.函数f(x)是奇函数解析:选D.∵y=sin(x-)=-cosx,∴T=2π,A正确;y=cosx在[0,]上是减函数,y=-cosx在[0,]上是增函数,B正确;由图象知y=-cosx关于直线x=0对称,C正确.y=-cosx是偶函数,D错误.3.若函数y=2cos(2x+φ)是偶函数,且在(0,)上是增函数,则实数φ可能是( )A.-B.0C.D.π解析:选D.依次代入检验知,当φ=π时,函数y=2cos(2x+π)=-
4、2cos2x,此时函数是偶函数且在(0,)上是增函数.4.函数y=sin(-x)的单调递增区间为________.解析:由y=sin(-x)得y=-sin(x-),由+2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,得π+3kπ≤x≤+3kπ,k∈Z,故函数的单调增区间为[π+3kπ,+3kπ](k∈Z).答案:[π+3kπ,+3kπ](k∈Z)5.已知向量,,求函数的表达式解析:∴,72013年高考第一轮复习资料—理科数学考点一:辅助角公式及其应用例1.已知函数.](1)求函数的最小值和最小正周期;(2)设的内角的对边分别为且,,若,求的值.【解析】解:,
5、则的最小值是,最小正周期是;,则,,,,,由正弦定理,得,由余弦定理,得,即,由解得.变式练习:已知向量,其中,函数的最小正周期为,最大值为3。(1)求和常数的值;(2)求函数的单调递增区间。解析:(1),,由,得。又当时,得.(2)由(1)当,即,故的单调增区间为,。变式训练:已知函数;(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.解:(1)72013年高考第一轮复习资料—理科数学==∴(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1有2x-=2k+即x=k+(k∈z)故所求x的集合为规律小结:本题是考查三角函
6、数性质的基础题,要求熟练掌握倍角公式,两角和与差的三角公式,以及周期的概念,掌握正弦曲线的单调区间。辅助角公式最重要,是常考内容。考点二:三角函数的性质例2已知函数f(x)=⑴求f(x)的定义域.⑵用定义判断f(x)的奇偶性.⑶在[-π,π]上作出函数f(x)的图象.⑷指出f(x)的最小正周期及单调递增区间.解:(1)由1+cos2x>0得2cos2x>0∴cosx≠0即x≠kπ+,(k∈z)∴函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ+,k∈z|}(2)∵定义域关于原点对称,且对任意的定义域中x,f(-x)=∴f(x)为奇函数.xy0π-π(3)f
7、(x)=又x∈[-π,π]且x≠-∴f(x)=f(x)的图象如右:(4)由图知,f(x)的最小正周期为2π.f(x)的单调递增区间是()(k∈z)变式训练2:求下列函数的定义域:72013年高考第一轮复习资料—理科数学(1)y=lgsin(cosx);(2)y=.解(1)要使函数有意义,必须使sin(cosx)>0.∵-1≤cosx≤1,∴0<cosx≤1.方法一利用余弦函数的简图得知定义域为{x
8、-+2k<x<+2k,k∈Z}.方法二利用单位圆中的余弦线OM,依题意知0<OM≤1,∴OM只能在x轴的正半轴上,∴其定义域为.(2)要使函数有意义
9、,必须使sinx-cosx≥0.方法一利用图象.在同一坐标系中画出[0,2]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.在[0,2]内,满足sinx
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