二阶电路的定义二阶电路是含有两个独立储能元件的线性定常电路

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1、二阶电路的定义二阶电路是含有两个独立储能元件的线性定常电路。描述这种电路的方程是二阶线性常微分方程。由电阻器、电感器和电容器串联或并联而成的电路是最简单的二阶电路。这里将通过RLC串联电路（见图6.1）来讨论二阶电路的零输入响应。图6.1RLC串联电路电容器的周期性放电的物理解释假设图6.1所示电路中的电容器已被充过电，vC(0)=V0。在t=0时将开关合上后，电容器就开始放电。起初，电容器正极板上的正电荷通过电阻器、电感器流向负极板，形成放电电流入i，而电压vC因正负极板上电荷的互相抵消将逐渐减小；与此同时，其内储存的电场能量也将向外释放而逐渐下降。减小的能量一部分是用来补

2、偿放电电流i流经电阻器所产生的损耗，另一都分是作为磁场能量储存在电感器中。这样一直持续到vC＝0和电容器中的电场能量全部放完，或者说放电完毕。但这并不意味着整个电磁过程的结束，因为现在电感器内已储有磁场能量，这部分能量将紧接着释放出来继续维持电路中的电流，并使其保持原来方向不变。于是，电容器现在开始被反方向充电，其两个极板的极性互换。另外，在此期间电感器放出的磁场能量除少量消耗于电阻器中，其余的都变成了电容器中的电场能量。这样又一直持续到电感器的磁场能量全部放光和电流i变为零。此时又因电容器内有电场能量和vC≠0，电路内的电磁过程仍将继续进行，不过现在是电容器开始反方向放电。

3、以后放电完毕又将充电，反复进行，循环不已。但因电流i通过电阻器时总耗费掉一部分能量，所以在每次充电过程结束时，电压vC的最高值总要比前一次低，而且到最后能量将被电阻器耗尽，电路中的全部电流、电压也都衰减为零。至此，过程才告结束。在上述的放电过程中，vC及i等的方向是不断改变的，称这种放电过程为电容器的周期性放电或振荡性放电。电容器的非周期性放电的物理解释若电阻器的电阻值比较大，则电容器放电时消耗于电阻器中的能量就比较多，而转入电感器中的磁场能量也就比较少。可以设想，当电阻器的电阻值超过某一限度时，电容器在第一次放电过程的初期，所放出的能量就会只有极小的一部分转变为磁场能量，而

4、大部分是被电阻器消耗掉，致使在第一次放电过程的后期电容器中剩下的能量不足以补偿电阻器的消耗，而必须把储存于电感器中的磁场能量也全部放出才能满足电阻器的消耗。在这种情况下，电容器不会再被反方向充电，vC和i等直到衰减为零也不改变方向。这种放电过程称为电容器的非周期性放电或非振荡性放电。上面对零输入下RLC串联电路内部出现的电磁过程进行的物理解释，定性地说明了电路的零输入响应i和vC等的变化情况。定量分析下面再对零输入响应作数学上的定量分析。对图6.1所示电路列出KVL方程(6.1)若取电流i作为要讨论的零输入响应，则将立式对t求导一次，并注意到便有t≥0(6.2)给定的初始条件

5、是vC(0)=V0(6.3)i(0)=iL(0)=0(6.4)将t＝0代入式(6.1)，得=(6.5)以式(6.4)和(6.5)为初始条件的微分方程(6.2)的解便是零输入响应i。令此解为(6.6)于是有(6.7)和(6.8)将它们代人式(6.2)便知式(6.2)的特征方程为(6.9)特征根为(6.10)特征根又称固有频率。若令(6.11)(6.12)则特征根又可写成(6.13)(6.14)二阶齐次常微分方程的通解即零输入响应为(6.15)上面所引入的参数a和w0分别称为电路的阻尼常数和谐振（角）频率，参数w0是以rad／s（弧度／秒）为度量单位。其中s1和s2的表达式见式(

6、6.13)和式(6.14)。零输入响应i的形式将取决于固有频率s1和s2是实数还是复数，而s1和s2又依赖于参数a和w0(或者说R、L和C)的相对大小。其相对大小可分为，、和a=0(R=0)四种情况。与此四种情况相对应的固有频率s1和s2将是：不等负实数、相等负实数、共轭复数和共轭虚数。同时，零输入响应也相应地被分为过阻尼、临界阻尼、欠阻尼和无阻尼（或无损耗）四种类型。下面讨论这四种不同情况的零输入响应i、vC、vL和由i（或vC）所表征的电容器放电过程。过阻尼(1)a＞w0，即的情况此时两个固有频率s1和s2为不等负实根，响应i为两个衰减指数函数之和，即t≥0将初始条件i

7、(0)=0代入上式，有k1+k2=0(6.16)将i的表达式对t求导，有(6.17)再将初始条件代入，得(6.18)由式(6.16)和(6.18)可定出k1和k2(6.19)(6.20)将k1和k2代入i的表达式便得RLC串联电路的零输入响应t≥0(6.21)根据可以求出电感器的端电压t≥0(6.22)根据式(6.1)可知将已知的vL和i代入上式可得电容器上的端电压t≥0(6.23)根据关系式也可求出上式。由于固有频率s1＜0、s2＜0及

8、s2

9、＞

10、s1

11、，当t从0变到∞时，es1t比es2t衰减得慢，