运用分类讨论思想,解决排列组合问题

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1、运用分类讨论思想，解决排列组合问题■河南省新乡市第一中学453100吴磊排列组合问题是历年高考的必考点，求解这类问题往往有多个不同的思路，若选择方法得当，求解过程简单，容易让人接受；否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏”等错误．因此，排列组合问题是高中数学的难点之一。本文试图从分类讨论思想方法出发，给出解决这些问题的一个有效方法，有效避免出现“重复”和“遗漏”等错解．一、解决站位问题1、有5名男生，4名女生排成一排，要求甲男生不站在排头，乙女生不站有排尾，则不同的排法有多少种？解析：将排法分成两类：一类是甲站在排尾，其余的可全排

2、，有种排法；另一类是甲既不排尾又不站在排头有种站法，乙不站在排尾而站在其它位置，其余的可全排，有种排法，故不同的排法共有＋＝287280种.2、（08年辽宁卷）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（）A．24种B．36种C．48种D．72种解析：按题目要求分成两类解决，①第一道工序安排甲，第四道工序安排丙，安排方案有；②第一道工序安排乙，第四道工序安排甲或丙，安排方

3、案有种方案，共计12+24=36种不同的安排方案．故应选择B选项．二、解决染色问题243153．（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？解析：依题意至少要用3种颜色,①当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域3与5必须同色，故有种；②当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有种，故用四种颜色时共有2种．由加法原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+224=

4、72．ABCDEF4．如图，6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？解析：（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法故有种方法．（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有种着色方法，此时B、D、F有种着色方法，故共有种着色方法.（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法，此时B、D、F各有2种着色

5、方法。此时共有种方法.故总计有108+432+192=732种方法.5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解析：满足题设条件的染色至少要用三种颜色.(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法；(2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下

6、的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法；(3)若恰用五种颜色染色，有种染色法,综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种.三、解决“多面手”问题6．现有翻译8人，其中3人只会英语，2人只会日语，还有3人英语、日语都会，现从这8人中选取3名英语、2名日语翻译，有多少种不同的选法？解析：按选择只会日语的翻译人数进行分类，若从2人中选2名日语翻译，有种选法；若从2人中选1名日语翻译，有种选法；若从2人中不选日语翻译，有种选法；故共有++=92种不同的方法.四

7、、解决数字问题7.用0，1，2，3，4这五个数字可组成多少个没有重复数字且是3的倍数的三位数？解析：构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，将0，1，2，3，4按除以3的余数分成3类，按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数再取2进行排列，先填百位，其余任意排，故有种；不取0，则只能取3，从1和4中再任取一类，再取2，然后进行全排列为，所以共有+=8+12=20个三位数.五、解决几何计数问题8．四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A．150种B．147种C．144种D．

8、141种解析：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共