分类讨论思想及其运用

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1、年级初三学科1数学版本通用版内容标题函数、方稈、不等式综合编稿老师王占元【本讲主要内容】函数、方程、不等式综合包括函数、方程、不等式之间的联系，以及综合应用函数、方程、不等式解数学题。【知识掌握】【知识点精析】1.二次函数、二次方程、二次不等式z间的联系若二次函数y=ax?+bx+c(a工0)中，令y=0,则得ax24-bx4-c=0(a0),于是二次函数变成了二次方程。令yHO，贝I」得至0ax'+bx+c>O(a#O)或ax?+bx+cvO,于是二次函数变成了二次不等式。2.二次函数、二次方程、二次不等式的图象表示a>0抛物线与X轴交点方程的根判别式2个两个不等实根AX)1个两个相等实

2、根A=00个无实根A<0【解题方法指导】例］.(2003年天津)己知抛物线y=x2-2x-8,求证：该抛物线与x轴一定有两个交点。分析：可令y=0,变成一元二次方程，判断△是否大于0。解：令y=0,得关于x的方程x2-2x-8=0A=(-2)2-4xlx(-8)=36>0・・・方程x?-2x-8=0有两个不相等的实数根即抛物线y=x2-2x-8与x轴一定有两个交点评析：此题的解法是将二次函数转化为一元二次方程，通过判断方程根的个数加以解决的。此题也可以画出抛物线的图彖作出判断。例2.已知：二次函数y=x?+6x+5(1)问抛物线与x轴是否有交点？(2)若有交点，什么悄况下图象在x轴上方，在

3、x轴下方，在x轴上？分析：(1)可先将二次函数转化为二次方程，再用判别式判断；(2)可先求出一元二次方程的根，画出抛物线的示意图，然后结合图彖作出判断。解：(1)令y=0,得x?+6x+5=0A=62-4xlx5=16>0・・・方程有两个不等实根即抛物线与x轴有两个交点(2)Wx2+6x+5=0(x+l)(x+5)=0xj=—1,x?——5y=x2+6x+5的二次项系数>0・・・抛物线开口向上，它的示意图如图所示・••当xv—5或x>—l时，它的图彖在x轴上方；当-5

4、方程，再判断抛物线与x轴是否有交点，这种方法比较简便；要判断抛物线的图象在x轴上方、下方及在x轴上，结合图象判断比较方便。如果利用解不等式组，同样可以解决：x2+6x+5>0,・•・(x+l)(x+5)>0,・・.(x+l)与(x+5)同号Jx+l>0Jx+lvO计x+5>0或]x+5v0[x>-lfx<-l[x>-5[x<-5因此x>-l或xv-5其余照此方法解决即可。例3.试求y=-x?+2x-l的最大值或最小值。分析：由于X?的系数为-1,小于零，所以抛物线的开口向下，因此必有最大值，再设法求出最大值。解：令y=0,则得-x2+2x-l=0/.x2-2x4-1=0(x-1)2=0・

5、Xj=x2=1vA=(-2)2-4=0・••抛物线和x轴只有一个交点，即(1,0)•••y最大=°评析：二次函数有无最大值或最小值，是由开口方向决定的，而开口方向又由a>0或a<0來决定的。【考点突破】【考点指要】一元二次方程，二次函数是重要的数学知识，而它们之间的联系，对考查同学综合运用知识的能力很有好处，因此在中考的试题中经常用到，而且把不等式的解法也运用进来，更体现出数学知识的内涵丰富。但在解题时，耍根据题冃的特点，选用合适的方法，使解法更为简捷。【典型例题分析】例1.(2002年上海)己知：二次函数y=x?-2(m-l)x+m2-2m-3,其中m为实数(1)求证：不论m取何实数，这

6、个二次函数的图象与x轴必有两个交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴交点为A(xi，0),B(x2,0),且X]、X2的倒数和2为土，求这个二次函数的解析式。3分析：(1)只要判断出A>0即可。(2)关键是求出m的值，二次函数便可求出，而求m的值需先将所给的二次函数转化为二次方程，再由一元二次方程根与系数的关系，以及11?—+—列出方程，求出m的值。X]x23解：(1)令y=0,-2(m-l)x+m2-2m-3=0A=

7、-2(m一l)]2一4(m2一2m一3)=4m2-8rrn-4-4m2+8m+12=16>0・・・方程x2-2(m-l)x+m2-2m-3=0必有两个不相等的实数根・・・不

8、论m収何值，该二次函数与x轴必有两个交点(2)Txi、X2是方程x2-2(m-l)x+m2-2m-3=0的两个实数根Xj+x2=2(m-1),X]X2=m2-2m-3.11x,+x22••1==—X]X2X1X232(m-l)2m2-2m-332m2-1Oni=0m2-5m=0IB]=0^m2=5・•・所求二次函数的解析式为y=x?4-2x-3gKy=x2-8x4-12评析：在解此题时，无论是要运用根与系数关系，或根的判