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1、浅谈分类讨论思想及其应用杨凌高新中学王旭2010-1-12分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一，在屮学数学应用屮十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题，着重分析讨论了分类讨论思想在屮淫数淫屮应用的一般原则、方法、技巧及应用环境.一、分类讨论思想的概念由于数学研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程屮出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称Z为分类讨论思想，其实质是一种逻辑划分的思想•从思维策略上看，它是把要解决的数学问题，分解成可能的各个部分,从
2、而使复杂问题简单化，使“大幅题转化为“小“问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则，以保证分类科学、统一，不重复、不遗漏，并力求最简.二、分类讨论的原则从某种意义上讲，分类讨论是不得已而为之的事情，通过协调、缓和“矛盾",达到运用知识合理解决问题的思想方法•那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则，才能使分类科学、严谨，从而正确、合理地解题，分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则.1•同一性原则同一•性原则简言之即“不遗漏冷可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集/，4(i=
3、1...H)是/的子集，并以此分类，且旳UA2U…仏=人则称这种分类(A*2...An)符合同一性原则.比如，我们若把实数R分成正实数R4■与负实数R-,那这种分类不符合同一性原则，因为R=R+UR-U(0)，则这种分类方法遗漏了零•在下面的例子屮来讨论同一性原则的应用：例1：已知直线/:4x-ysin0+l=O,求它的斜率及斜率的取值范围、倾斜角的取值范围.分析：直线/的方程中y的系数是sin0,而sin"的值域是[-1,1],sin<9值可取零，但sin3=0时斜率不存在,故视sin。为研究对象/=[-1,1],A严{0},每=l,0)U(0,1]，如血都是I的子集
4、，且川UA2=A满足同一性原则，作如下分类讨论：(1)当sin^=0,BPQ=kn(展Z),直线/的斜率不存在，倾斜角4(2)当sin&HO,即毎刼(KZ)，直线/的斜率E—,并且由sin&■lWsinOW0,0Wsin&三1,得岀-1M-oo,+oo>—!—Ml,=>£的取值范围sin/9sin。为(-oo-4]U[4,+oo)直线倾斜角a取值范围为[arctg4,7r-arctgA]例2：已知集合A={x财+4=0,兀gR,awR},B={x
5、才一5/+2x+8=0,bwR}，若AqB,求a的取值范围.分析：由TB={xx3—5x2+2x+8=0,/?gR}={x
6、(%+l)(%—2)(%—4)=0}={-1,2,4},JiAuB,则集合A可能是空集、单元索集合和两个元索集合，而集合A的元索是一个一元二次方程的解集，即一元二次方程可能是无解、两个相等的解或两个不相等的实根，因此要分三类讨论，求出a的取值范围，此题研究对象是一元二次方程“一血+4=0的根的判别式△，分成大于零,小于零和等于零这三种情况，这种分类符合同一性原则，没有遗漏任一情况.(1)当g—“VO,即-4(),即a>4或°V-4时综上可得，当gw(-4,4]时术o
7、B1•互斥性原则由同一性原则可以看出,在分类讨论时，同一性仅仅考虑了“不遗漏”，但是对丁•全集/来说41/2..A在满足A1UA2U...UAn=/的前提下，并不能保证A^Aj=0Gjen^j),即在分类讨论中不能避免重复讨论，使讨论复杂，互斥性原则则解决了这一问题，即对于研究对象/,A/(i=l...n)是/子集，且作为分类的标准，若AiCAj=0(zjgn,zVj)，则称这种分类符合互斥性原则，互斥性原则的重要性在下面例子中可以很明显地显露出来.例3：某车间冇10名工人，其中4人仅会车工,3人仅会钳工，另外三人车工、钳工都会,现需选出6人完成-件工作需要车工、钳工
8、各3人，问有多少种选派方案？分析：如果先考虑钳工，因为6人会钳工，故有C；种选法，但这吋不清楚选出的钳工屮有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的7人中冇多少人会车工，因此在选车工时,就无法确定是从7人屮选，述是从6人、5人、4人屮选，同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题,因此需对全能工人进行分类，因为有3人是全能的，故有四种不同的情况可能出现,具体如下：(1)选出的6人中不含全能工人；(2)选出的6人中含一名全能工人；(1)选出的6人中含二名全能工人；(4)选出的6人中含三名全能工人；故有c：・c；+c；・G・U+C・c：・a+c；C
