用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题

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1、用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题　　用分类的数学思想讨论幂指法可解的排列组合问题　　　　万海芬　　　　（怀仁县第一高级职业中学）　　　　排列组合属于数学中相对独立的一门分支学科，它研究的核心问题是在给定条件下的某事件可能出现的情况总数。排列组合既是学习概率论与数理统计的理论基础，又是组合数学中最基本的概念。由于排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思想抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除了做到排列组合分清，加法乘法原理辩明外，还应注意避免重复或遗漏。　　　　在排列组合问题中，除了最直观的捆绑法和插空

2、法外，还有常用的幂指法等。这里，主要讨论分类的数学思想解决能用幂指法解决的问题。　　　　幂指法属于分步法的一种特殊情况，完成目标事件的每一步方法的个数是相同的，即m1=m2=…=mn=m那么总数N=mn,因此我们也可称它为乘方原理。幂指法一般出现于允许重复的排列问题中。这类问题研究的对象是不受位置约束的元素，一般把n个不同的元素无限制地安排在m个不同的位置上的排列数为N=mn.不难看出这类排列问题允许空位的存在。并且每一个位置中的元素个数不受限制。所以我们可以根据位置的数量进行分类。　　　　例：把三名实习生分配到5个车间实习，共有多少种

3、不同的分法？　　　　利用幂指法解：每名实习生都有5种不同的分法。所以3名实习生共有53=125（种）不同的分法。　　　　利用分类的数学思想去解，根据所选车间的数量进行分类。　　　　第一类：只选一个车间实习。　　　　从5个车间中任选一个车间，3人同去一个车间有C51C33=5（种）分法。　　　　第二类：选两个车间实习。　　　　首先从五个车间中任取两个车间，有C52种取法。针对每取出的两个车间又各有几种分配方法，不妨以取到1号车间和2号车间为例，（1）1号车间可以去1人。2号车间去2人。这时，1号车间的1人来自已有的3人，余下的2人去2号车

4、间，有C31C22种分配方法。（2）1号车间去2人，2号车间就去1人。这时1号车间的2人来自已有的3人，余下1人去2号车间。有C32C11种分配方法。此时共有C31C22+C32C11=6（种）分配方法。而两个车间的取法又有C52种取法，所以选两个车间实习的方法共有C52（C31C22+C32C11）=60（种）。　　　　第三类：选三个车间实习。　　　　从五个车间中任取三个车间。有C53种取法。三个实习生只能每人去一个车间，又能进行全排列。所以共有C53A33=60（种）分配方法。　　　　综上所述，共有C51C33+C52（C31C22

5、+C32C11）+C53A33=125（种）不同的分配方法。　　　　相对幂指法，分类思想解决本题较为复杂，但通过几年的教学发现，(..)能用分类思想解决此题，就能解决一系列相关题目。并为不能用幂指法去解决的题目的解题思路提供帮助。如：　　　　1.将4个不同的小球，放入编号为1、2、3、4的盒子中。　　　　（1）求有多少种不同的放法？　　　　（2）若1号盒子中有两个球，求有多少种不同的放法？　　　　（3）若没有空盒子，求有多少种不同的放法？　　　　（4）若有两个空盒子，求有多少种不同的放法？　　　　解析：　　　　（1）根据所选盒子的数量进

6、行分类。第一类：只取一个盒子，有C41=4（种）取法。4个球会进入同一个盒子。也就有C41=4（种）放法；第二类：取两个盒子，有C42=6（种）取法。这时针对每取到的2个盒子都有C41C33+C42C22+C43C11=14（种）取法。所以共有C42（C41C33+C42C22+C43C11）=84（种）不同的取法；第三类：取三个盒子，有C43种取法。这时针对每取到的3个盒子又有C41C31C22+C41C32C11+C42C21C11=36（种）取法。所以共有C43（C41C31C22+C41C32C11+C42C21C11）=144

7、（种）取法；第四类：取4个盒子，共有4个球，相当于做一次全排列。即有A44=24（种）不同的放法。所以共有4+84+144+24=256（种）不同的放法。　　　　（2）若1号盒子中有两球，相当于剩下两个球要放进三个盒子。同样可以根据盒子的数量进行分类。第一类：只取一个盒子，有C31种放法；第二类：取2个盒子，有C32种取法，共有2个小球，可以进行排列，即A22C32.所以共有C42（C31+A22C32）=54（种）不同的放法。　　　　（3）若没有空盒子，恰好4个盒子全用到了。相当于（1）中的第四类。　　　　（4）若有两个空盒子，也就是

8、从4个盒子中用到两个盒子。正好相当于（1）中的第二类。　　　　2.把5个相同的小球放入3个形状不同的盒子里，如果允许有盒子不放球，求有多少种不同的放法？　　　　解析：可以根据盒子的数量进行分类。第一类：取一