解三角函数：正弦定理习题及详细答案

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1、解三角函数：正弦定理1．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则(　　)A．B＝45°或135°　　　　　　　B．B＝135°C．B＝45°D．以上答案都不对解析：选C.sinB＝，∵a＞b，∴B＝45°.2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　)A.B．2C.D.解析：选D.由正弦定理＝⇒sinC＝，于是C＝30°⇒A＝30°⇒a＝c＝.3．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝__________.解析：在△ABC中，若tanA＝，C

2、＝150°，∴A为锐角，sinA＝，BC＝1，则根据正弦定理知AB＝＝.答案：4．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：＝.证明：如图所示，设∠ADB＝θ，则∠ADC＝π－θ.在△ABD中，由正弦定理得：＝，即＝；①在△ACD中，＝，∴＝.②由①②得＝，∴＝.一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA∶sinB的值是(　　)A.B.C.D.解析：选A.根据正弦定理得＝＝.2．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B.∵＝

3、，∴＝，又由正弦定理＝.∴cosC＝sinC，即C＝45°，故选B.3．(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝(　　)A．－B.C．－D.解析：选D.由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝.∵a＞b，A＝60°，∴B为锐角．∴cosB＝＝＝.4．在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选B.由题意有＝b＝，则sinB＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、

4、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，则c＝(　　)A．1B．2C.－1D.解析：选B.由正弦定理＝，可得＝，∴sinB＝，故B＝30°或150°.由a＞b，得A＞B，∴B＝30°.故C＝90°，由勾股定理得c＝2.6．(2011年天津质检)在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝4，则此三角形有(　　)A．两解B．一解C．无解D．无穷多解解析：选B.因csinA＝2＜4，且a＝c，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC中，已知BC＝，sinC＝2sinA，则AB＝________.解析：AB＝BC＝2BC＝2.答案：28

5、．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.解析：A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶.答案：1∶1∶9．(2010年高考北京卷)在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝________.解析：由正弦定理，有＝，∴sinB＝.∵∠C为钝角，∴∠B必为锐角，∴∠B＝，∴∠A＝.∴a＝b＝1.答案：1三、解答题10．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，且a＋b＋c＝30，求a.解：∵sinA∶si

6、nB∶sinC＝∶∶＝a∶b∶c，∴a∶b∶c＝4∶5∶6.∴a＝30×＝8.11．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c.已知a＝5，b＝2，B＝120°，解此三角形．解：法一：根据正弦定理＝，得sinA＝＝＝＞1.所以A不存在，即此三角形无解．法二：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以A＞B＝120°.所以A＋B＞240°，这与A＋B＋C＝180°矛盾．所以此三角形无解．法三：因为a＝5，b＝2，B＝120°，所以asinB＝5sin120°＝，所以b＜asinB．又因为若三角形存在，则bsinA

7、＝asinB，得b＞asinB，所以此三角形无解．12．在△ABC中，acos(－A)＝bcos(－B)，判断△ABC的形状．解：法一：∵acos(－A)＝bcos(－B)，∴asinA＝bsinB．由正弦定理可得：a·＝b·，∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．法二：∵acos(－A)＝bcos(－B)，∴asinA＝bsinB．由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB，∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)故△ABC为等腰三角形．