数项级数收散性判别法

《数项级数收散性判别法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、华北水利水电大学数项级数的证明方法及应用1.课程名称：高等数学（2）2.专业班级：农业水利工程（16）班3.成员组成：李林201201614元奇201201601冯冰洋2012016054.联系方式：132037325682013年6月7日第22页（共22页）数项级数收敛性判别法作者：李林元奇冯冰洋指导老师：王田利摘要：文章对数项级数收敛性的判别方法进行了归纳总结，在参考文献的基础上新增了一些命题和应用，从而得到一般的解题思路．关键词：数项级数；收敛性；判别法；归纳总结；解题思路一，引言数项级数的敛散性是

2、数学分析中的一个重要内容．本文对数项级数敛散性的判别法做了一个较全面的讨论，主要讨论了正项级数、交错级数和绝对收敛级数．其中正项级数收敛性判别法主要有比较原则、比式判别法、根式判别法、拉贝判别法、积分判别法和对数判别法等．而构造高精度正项级数收敛性判别法，实质是找到一个收敛速度足够慢的正项级数．但值得注意的是这个＂精确化＂的过程是没有尽头的，因为杜·布洼·雷知恩曾证明，任何收敛的正项级数，都有比它收敛得更＂快＂的级数存在．还有人证明：任何发散的正项级数也有比它发散得更＂慢＂的级数存在．这说明没有收敛的最快

3、的级数，也没用发散的最慢的级数，所以要想建立一种对一切正项级数都有效的比较标准是不可能的．本文就这一问题进行了深入研究，提出了不断提高精度的判别方法．一般项级数中主要讨论了交错级数和绝对收敛级数，本文归纳总结了它们常见的性质及应用．从而丰富了数项级数收敛性的判别方法．1　数项级数相关概念1.1　数项级数及定义定义1　给定一个数列，对它的各项依次用＂＂号连接起来的表达式第22页（共22页）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中称为级数（1）的第项或通项．数项

4、级数（1）也常写作：或简单写作．数项级数（1）的前项的和为，即或，称为级数的项部分和．　　定义２　若数项级数（1）的部分和数列收敛于(即)，则称数项级数（1）收敛,称为数项级数(1)的和,记作或；若是发散数列，则称数项级数（1）发散．例1　设收敛，．证明：.证　记级数的前项和．则．从而　，即　　　　　　　　　　．1.2　数项级数敛散性判别的充要条件定理（级数收敛的柯西准则）级数（１）收敛的充要条件：，当时，对有：．根据定理，我们立刻可以写出级数（1）发散的充要条件：，和有：第22页（共22页）．（２）由定

5、理立即可以得出如下推论，它是级数收敛的一个必要而非充分条件．推论　若级数（1）收敛，则．注：在实际应用中，我们常常先考虑推论的逆否命题从而来判断该级数是否发散．例2　设正项级数发散，其前项和记为，试证级数也是发散的．　　证　.因为，故对，当充分大时有，从而，所以级数发散．命题　设数项级数的部分和数列为，，则1）若或，则　；2）设，，则a)若（）收敛于,则；b)若收敛于，则．例3讨论级数第22页（共22页）的敛散性．解　由于，设为收敛，故由命题知原级数也收敛．2　正项级数2.1　正项级数及定义设有数项级数，

6、若数项级数各项的符号都相同，称它为同号级数．其中，若各项均为正数，则称它为正项级数．2.2　正项级数敛散性的一般判别原则　　定理1　正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界．注：定理1解决了一类级数的收敛问题,不必研究，只需粗略地估计当时是否保持有界就可以了，它是判断正项级数敛散性的最基本方法，几乎所有判别法都是由它导出，但是在具体应用时不大方便．定理2　设两个正项级数与，，有，是正常数．1）若级数收敛，则级数也收敛；2）若级数发散，则级数也发散．推论　设两个正项级数与，且．1）若级数收敛，且，则级数

7、也收敛；第22页（共22页）2）若级数发散，且，则级数也发散．例4　设收敛，证明：收敛（）．证　　因为，易知：收敛（积分判别法），又收敛，所以收敛．由比较原则知收敛．总结　1）比较原则重在＂比较＂，是利用两个正项级数的通项结构来比较．必须掌握等比级数，调和级数，p-级数的敛散性，因为比较原则的比较对象常常就是上述三种级数；2）要证明某一个级数收敛，需要找一个通项比大的收敛的整形级数，即，也就是需要将所求的级数通项级数项放大；3）要证明某一个级数发散，需要找一个通项比小的发散的正项级数，即，也就是需要将所求

8、的级数通项缩小；4）判断正项级数敛散性的一般步骤：(ⅰ)检查通项：若，可判断级数发散．否则进入(ⅱ)．(ⅱ)用比较原则．若或极限不存在，则入(ⅲ)．(ⅲ)用比较原则或比较原则的极限形式，若无法找到适用的比较级数，则进入(ⅳ)．(ⅳ)检查正项级数的部分和数列是否有上界或判别是否存在，若有上界则收敛,若无上界则发散；若存在极限则收敛,反之发散．第22页（共22页）用比较原则判断正项级数的敛散性，需要另外找到一个适当的正项级数作为比