数项级数敛散性判别法。(总结)

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1、华北水利水电学院数项级数敛散性判别法。（总结）课程名称：高等数学（下）专业班级：成员组成联系方式：2012年5月18日-12-摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下

2、判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。英文题目Abstract:Singleoutexamplestolearnanumberofseries,weallknowwhichwaytogo.Butwaituntilallofthemethodsaftercompletingtheirstudiesaregiventopics,everyoneseemsconfusedanddonotknowwhatkindofway.Somestudentsevenonebyoneswa

3、bofeachmethod,althoughitisalsofeasible.Butforoneseries,usingdifferentmethodstodeterminetheconvergenceanddivergenceofthedegreeofdifficulty,iftheappropriatechoiceofthewaytoamultipliereffect,butifthehanginghaschosenthewrongway,mayhavespentninecattletigersafterthepowe

4、r,theresultiswrong.Soweneedtosumuptodeterminetheconvergenceanddivergence,andtounderstandtheircharacteristics,inordertomakebetteruseofthem.Keywords:Anumberofseries,convergenceanddivergenceofjudgment.引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。-12

5、-以下介绍相关定义及定理一、常数项级数的概念定义：无穷多常数项累加求和常见的几类重要的常数项级数正项级数：级数中所有项均大于等于零。交错级数：级数中的项正负相间的级数。等比级数调和级数P--级数在以下的判别中这几类级数将会有重要的运用二、相关定理定理一：如果，则可判断该级数一定不收敛。定理二、等比级数判别法：-12-当时，级数收敛；（2）当时，级数发散定理三、级数判别法：(1)当时，级数发散(2)当时，级数收敛注：调和级数是特出的p级数，这时p=1。定理四、设与是两个正项级数，若当且级数收敛时，级数也收敛；当且级数发散时，

6、级数也发散；定理五、（极限形式）若为正项级数，且则(1)当时，级数也收敛；(2)当时，或时，级数发散；注：当时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数与，它们的比式极限都是但是收敛的，而是发散的.注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时，需要构造一个级数，这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的级数有所了解。例如：调和级数，等比级数，p级数。比较法虽然简单，但是需要构造新级数，所以比较麻烦。以下介绍一种方法用于自身比较。定理六、（极限形式）若为正项级数，且则-1

7、2-(1)当时，级数收敛(2)当时，级数发散注：当时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数与，二者都有，但是收敛的，而是发散的.但是收敛的，而是发散的.定理七、若交错级数满足：（1）；（2）．则交错级数收敛绝对收敛与条件收敛对于一般项级数其各项为任意实数，若级数各项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；若级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛．易知是绝对收敛级数，而是条件收敛级数．定理八、若收敛，则必收敛．对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过取绝对值，转换为正项级数后，再利用定理八，进行判

8、断。-12-以下介绍一种通过积分判断的方法。此方法的特点是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。定理九设为[上非负减函数，则正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。证明：由假设为[上非负减函数，则对任何正数A，在[1，A]上可积，从而有，依次相加，得若反常积分收敛，