数项级数的敛散性判别法ppt课件.ppt

《数项级数的敛散性判别法ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二、交错级数与任意项级数的敛散性第二节一、正项级数敛散性判别法数项级数敛散性判别法机动目录上页下页返回结束第五章1一、正项级数及其判别法若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”机动目录上页下页返回结束2都有定理2(比较判别法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨机动目录上页下页返回结束3(1)若强级数则有因此对一切

2、有由定理1可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数机动目录上页下页返回结束4例1.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较判别法可知p级数发散.发散,机动目录上页下页返回结束5因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较判别法知p级数收敛.时,2)若机动目录上页下页返回结束6调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切机动目录上页下页返回结束7证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较判别法可知,所给级数发散.例2.机动目录上页下页返回结束8定理3.(比较判别法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(

3、3)当l=∞证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当0

4、1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较判别法可知机动目录上页下页返回结束13因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.从而机动目录上页下页返回结束14例5.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;机动目录上页下页返回结束15思考：设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.机动目录上页下页返回结束16对任意给定的正数定理5.根值判别法(Cauchy判别法)设为正项级则证明提示:即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,

5、且机动目录上页下页返回结束17时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.机动目录上页下页返回结束18例6.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn近机动目录上页下页返回结束19二、交错级数与任意项级数的敛散性则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足机动目录上页下页返回结束20证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故机动目录上页下页返回结束21收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项

6、取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛机动目录上页下页返回结束22三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.机动目录上页下页返回结束23定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较判别法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令机动目录上页下页返回结束24例7.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动目录上页下页返回结束25(2)令因此收敛,绝对收敛.机动目录上页下页返回结束26例8讨论级数的敛散性.解：时,27时，级数收敛。时，原级数即为几何级数显然收

7、敛。综上所述，原级数收敛。28内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数判别法必要条件不满足发散满足比值判别法根值判别法收敛发散不定比较判别法用它法判别积分判别法部分和极限机动目录上页下页返回结束293.任意项级数判别法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动目录上页下页返回结束30思考题1.判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.不是p–级数(2)发散,故原级数发散.机动目录上页下